Контрольные вопросы

15.Какие математические операции сохраняют класс измеримых функций?

16.Как определяется интеграл Лебега от простых функций? Какие простые функции называются интегрируемыми по Лебегу (суммируемыми)?

17.Как распространяется понятие интеграла Лебега на положительные измеримые функции? на измеримые функции, не сохраняющие знак?

18.Какая связь между интегралами Римана (собственными и несобственными) и интегралом Лебега?

19.Какие теоремы о предельных переходах для интегралов Лебега вы знаете? (Теорема Б. Леви, лемма Фату, теорема Лебега). Сформулируйте их.

20.Как связаны сходимость почти всюду и сходимость в среднем?

21.Что является пополнением пространства непрерывных функций с метрикой среднего отклонения?

22.Что утверждает теорема Рисса - Фишера?

23.Какие из указанных множеств плотны в пространстве L[ 1; 1]: а) непре-

рывных функций?, б) четных непрерывных функций? в) многочленов?

Глава 3

1.Что такое линейное нормированное пространство?

2.Каковы аксиомы нормы?

3.Как связаны понятия линейного нормированного и метрического пространства? Всегда ли метрика в линейном пространстве может быть задана с помощью нормы?

4.Что называется банаховым пространством?

5.Какие нормы называются эквивалентными?

6.Дайте определение сепарабельности.

7.Дайте определение пространств последовательностей m; c c0; lp (1 p <

1); l1. Какие из этих пространств сепарабельны? Какие из них содержат другие как подмножества?

8.Дайте определение пространств Лебега Lp (1 p < 1); L1.

9.Напишите неравенства Г¼льдера и Минковского для сумм и для интегралов. Когда в них достигается равенство?

10.Что такое подпространство банахова пространства? Будет ли оно само банаховым пространством?

11.Дайте определение гильбертова пространства.

12.Каковы аксиомы скалярного произведения?

13.При каком условии норма в банаховом пространстве порождается скалярным произведением?

14.Будут ли пространства l2 è L2 гильбертовыми? Как выглядит неравен-

ство Г¼льдера в этих случаях?

15.Напишите неравенство Коши - Буняковского. Когда в нем достигается равенство?

16.Что такое ортогональное дополнение? Всегда ли оно будет подпространством?

17.Что такое ортонормированная система?, полная ортонормированная си-

стема?

18.Что такое коэффициенты Фурье? неравенство Бесселя? равенство Парсеваля?

19.В чем состоит минимальное свойство коэффициентов Фурье?

20.Для данного вектора рассмотрим его ряд Фурье по данной ортонормированной системе. При каких условиях ряд Фурье сходится? При каких условиях он сходится к самому вектору?

21.Опишите процесс ортогонализации.

Глава 4

1.Дайте определение линейного ограниченного оператора (функционала).

2.Как связаны понятия непрерывности и ограниченности линейных операторов (функционалов)?

3.Что такое норма оператора (функционала).

4.Приведите примеры линейных ограниченных функционалов в простран-

ствах lp; Lp. Оцените норму.

5.Приведите примеры линейных ограниченных операторов. Оцените нормы.

6.Сформулируйте теорему Хана-Банаха в действительном и комплексном случае.

7.Что такое реалификация комплексного пространства?

8.Что такое биортогональные системы векторов и функционалов?

9.Пусть x1 6= x2 - два вектора. Всегда ли существует функционал, разли-

чающий эти векторы, т.е., f(x1) > 0; f(x2) < 0?

10.Что такое сопряженное пространство? Будет ли оно полным?

11.Каким будет сопряженное пространство для lp, 1 < p < 1?, äëÿ l1?

12.Объясните вложение E E .

13.Что такое рефлексивное пространство? Приведите пример нерефлексивного пространства.

14.Почему конечномерные пространства всегда рефлексивны?

15.Каков общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве?

16.Почему гильбертово пространство рефлексивно?

17.Дайте определение сопряженного оператора.

18.Каким будет оператор сопряженный к интегральному оператору в L2?

19.Как связаны операторы и билинейные формы в гильбертовом пространстве?

20.Оцените норму интегрального оператора в L2[a; b].

21.Какой оператор называется самосопряженным?

22.Как связаны самосопряженные операторы и квадратичные формы?

23.Что означает неравенство > или < между самосопряженными операторами.

24.Дайте определение равномерной, сильной и слабой сходимости операторов. Какова связь между этими понятиями?

Глава 5

1.Дайте определение компактного и предкомпактного множества. Как связаны эти понятия?

2.Будет ли компактной единичная сфера в конечномерном пространстве? Почему?

3.Будет ли компактной единичная сфера в гильбертовом пространстве? Почему?

4.Что такое компактный оператор?

5.Что такое конечномерный оператор в бесконечномерном пространстве? Будет ли он компактным?

6.Как понимать утверждение: "Множество компактных операторов замкнуто относительно равномерной сходимости"? Верно ли оно?

7.Будет ли интегральный оператор с непрерывным ядром в пространстве

L2[a; b] компактным? Почему?

8.Что такое уравнение Фредгольма второго рода?

9.Сформулируйте три теоремы Фредгольма?

10.Как сводится уравнение Фредгольма второго рода к конечномерному?

11.Что такое интегральное уравнение Вольтерра?

12.Что такое спектр оператора Фредгольма? Опишите его.

13.Каков спектр оператора Вольтерра?

14.Может ли самосопряженный интегральный оператор в L2[a; b] не иметь

ни одного собственного значения? Тот же вопрос для несамосопряженного интегрального оператора.

15.Опишите спектр самосопряженного интегрального оператора. Когда система собственных функций полна?

16.Что такое истокообразная представимость функции? Что можно утверждать о ее ряде Фурье?

17.В чем состоит задача Штурма - Лиувилля?

18.Перечислите свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма - Лиувилля.

19.Что такое функция Грина задачи Штурма - Лиувилля?

20.Как свести задачу Штурма - Лиувилля к интегральному уравнению?

21.Сформулируйте теорему о разложении по собственным функциям зада- чи Штурма - Лиувилля.

Глава 6

1.Дайте определение резольвентного множества и спектра.

2.Каковы свойства спектра ограниченных операторов?

3.Как классифицируются точки спектра?

4.Каковы свойства спектра самосопряженного оператора?

5.Дайте определение оператора ортогонального проектирования. Каков спектр этого оператора?

6.Как записать включение подпространств L1 L2 в терминах проекто-

ðîâ?

7.Как записать условие ортогональности L1 ? L2 в терминах проекторов?

8.Что означает высказывание: "Подпространство L приводит оператор A"?

9.Дайте определение спектральной функции ограниченного самосопряженного оператора.

10.Опишите спектральную функцию самосопряженного оператора в конеч- номерном пространстве.

11.Сформулируйте спектральную теорему для ограниченного самосопряженного оператора.

12.Как извлечь квадратный корень из положительного ограниченного оператора?

13.Как строится спектральная функция ограниченного самосопряженного оператора?

14.Что такое интеграл Стильтьеса по спектральной функции?

15.Как выражаются функции от оператора с помощью спектральной функции?

16.Сформулируйте теорему Коши для резольвенты.

17.Напишите формулу Стоуна для спектральной функции.

Глава 7

1.Что такое неограниченный линейный оператор?

2.Что такое график оператора?

3.Дайте определение замкнутого оператора.

4.Всегда ли незамкнутый оператор можно замкнуть? Почему?

5.Как связаны графики операторов A и A 1?

6.Как классифицируются точки спектра?

7.Будет ли спектр замкнутым ограниченным множеством?

8.Что такое симметрический оператор?

9.Как определяется сопряженный оператор?

10.Как связаны графики A и A ?

11.Какая связь между симметрическим оператором A и его сопряженным

A ?

12.Дайте определение самосопряженного оператора.

13.В чем состоит критерий самосопряженности симметрического операто-

ðà?

14.Будет ли оператор A = id=dx в L2[a; b] с областью определения

D(A) = fu(x) 2 C(1)[a; b]; u(a0 = u(b) = 0g

симметричным? замкнутым? самосопряженным?

15. Какой должна быть область определения оператора A = id=dx в L2[a; b], чтобы он был самосопряженным?

16.Как выглядит спектральное разложение для оператора из пункта 15?

17.Как определить оператор A = id=dx в пространстве L2( 1; 1), чтобы

он был самосопряженным?

18. Как выглядит спектральное разложение для оператора из пункта 17?