случае мы имели бы равенство

fx + rmg = fy + rng;

где x; y 2 Z. Но тогда бы

x y = rn rm;

т.е., x и y принадлежали бы одному классу, в то время как они выбраны из разных классов. Далее, любая точка x окружности принадлежит какому-то Zn. Действительно, x имеет вид f + rng, где 2 Z - представитель того класса, который содержит x.

Таким образом, мы получаем разбиение окружности на счетное множество непересекающихся подмножеств Zn. Ïðè ýòîì

(Zn) = (fZ + rng) = (Z):

в силу инвариантности меры относительно сдвигов. Тогда в силу счетной аддитивности мы имели бы

что невозможно ни при каком значении (Z), ни при (Z) > 0, ни при

(Z) = 0.

2.2Верхняя мера Лебега

Пусть A Rn - произвольное множество. Рассмотрим счетные покрытия

A клетками

1

A = [ Pi

i=1

и положим

1

X m (A) = inf (Pi);

i=1

где инфимум берется по всем таким покрытиям. Здесь (P ) - это мера

(2.1.2) клетки, и сумма означает сумму ряда (бесконечную, если ряд расходится). Таким образом, m (A) может быть равно 0, положительному числу

или +1. Эта величина называется верхней (внешней) мерой Лебега множества A. Подчеркнем, что в теории Лебега, в отличие от теории Жордана, с самого начала допускаются счетные покрытия.

Упражнение 2.2.1 Верхняя мера счетного множества равна 0. В частности, множество рациональных чисел на R имеет верхнюю меру 0.

2.2.1Свойства верхней меры.

1. Монотонность. Если A B, то m (A) m (B): Это ясно, так как любое покрытие B будет также покрытием A.

2.Инвариантность при сдвигах. Это также ясно, так как при сдвигах покрытие переходит в покрытие.

3.Субаддитивность. Если A = [1i=1; òî

1

Пусть дано " > 0. По определению инфимума для множества Ai найдет- ся такое покрытие клетками Pik, ÷òî

1

m (Ai) + 2"i X (Pik):

k=1

Клетки Pik в совокупности покрывают A, и это покрытие - счетное. Тогда по определению инфимума

Âсилу произвольности " отсюда следует (2.2.1).

4.Нормировка. Если A = [Ni=1 Pi - клеточное множество, т.е., конечное объединение непересекающихся клеток, то

N

X m (A) = (A) := (Pi):

i=1

Òàê êàê Pi - это покрытие A, то по свойству инфимума

1

X

m (A) (Pi) = (A):

i=1

Чтобы получить обратное неравенство, возьмем любое " > 0. Тогда по свойству инфимума существует счетное покрытие A клетками Qk, такое что

1

X m (A) + " (Qk):

k=1

Заменим каждую Pi меньшей замкнутой клеткой Pic Pi, причем так,

чтобы

N

X

(Pi) (Pic) < ";

i=1