- •Введение
- •Полнота
- •Метрические пространства
- •Полные метрические пространства
- •Сжимающие отображения
- •Пополнение
- •Интеграл Лебега
- •Почему не все множества измеримы?
- •Верхняя мера Лебега
- •Свойства верхней меры.
- •Измеримые множества
- •Свойства измеримых множеств
- •Множества меры 0.
- •Борелевские множества.
- •Измеримые функции и интеграл
- •Свойства измеримых функций
- •Интеграл и его свойства
- •Приложения
- •Предельный переход
- •Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •Полнота пространства L
- •Плотность непрерывных функций
- •Теорема Фубини
- •Банаховы и гильбертовы пространства
- •Основные определения
- •Примеры
- •Конечномерные пространства
- •Пространства последовательностей
- •Гильбертово пространство
- •Основные понятия
- •Ортогональные системы и ряды Фурье.
- •Линейные функционалы и операторы
- •Определения и примеры
- •Теорема Хана - Банаха
- •Сопряженное пространство
- •Функционалы в гильбертовом пространстве
- •Рефлексивность
- •Сопряженные и самосопряженные операторы
- •Определения и примеры
- •Операторы в гильбертовом пространстве
- •Самосопряженные операторы
- •Виды сходимости
- •Компактные операторы
- •Компактные множества и операторы
- •Теория Фредгольма
- •Конечномерный случай
- •Теоремы Фредгольма
- •Спектр
- •Теория Гильберта - Шмидта
- •Интегральные операторы
- •Задача Штурма - Лиувилля
- •Спектральная теория
- •Резольвента и спектр
- •Ортогональные проекторы
- •Спектральная теорема
- •Доказательство спектральной теоремы
- •Формула Стоуна
- •Неограниченные операторы
- •Основные определения
- •Симметрические и самосопряженные операторы
- •О спектральной теореме
- •Задачи
- •Контрольные вопросы
Глава 5
Компактные операторы
5.1Компактные множества и операторы
Определение 5.1.1 Множество M банахова пространства E называ-
ется компактным (или компактом), если для любой последовательности xn 2 M существует сходящаяся подпоследовательность xnk ! x, предел которой принадлежит M.
Примером могут служить замкнутые ограниченные множества в конечномерных пространствах. Действительно, существование сходящейся подпоследовательности следует из теоремы Больцано - Вейерштрасса, а то, что предел принадлежит M вытекает из его замкнутости.
Иногда удобнее пользоваться несколько иным понятием, особенно в неполных нормированных или метрических пространствах.
Определение 5.1.2 Множество M называется предкомпактным, если для любой последовательности xn 2 M существует фундаментальная подпоследовательность.
Упражнение 5.1.3 Доказать, что в полном пространстве замкнутое предкомпактное множество компактно.
В бесконечномерных пространствах теорема Больцано - Вейерштрасса неверна, т.е., замкнутое ограниченное множество может быть и некомпактным.
Упражнение 5.1.4 Доказать, что единичная сфера kxk = 1 в бесконечномерном гильбертовом пространстве некомпактна.
Понятие компактности играет решающую роль во многих вопросах. Примером может служить теория Гильберта - Шмидта, рассматриваемая далее в этой главе. Поэтому особое значение приобретают операторы, восстанавливающие свойство компактности замкнутых ограниченных множеств.
87
88 |
ГЛАВА 5. КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
|
Определение 5.1.5 Оператор K : X ! Y в банаховых пространствах |
называется компактным, если для любой ограниченной последовательности xn 2 X из последовательности Kxn 2 Y можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
В литературе встречается термин вполне непрерывный оператор , но он все чаще заменяется термином компактный.
Нахождение условий компактности множеств и операторов - это обширная и важная область функционального анализа. Мы, однако, не будем в нее углубляться, а рассмотрим лишь одно достаточное условие компактности операторов, и в дальнейшем будем работать только с этим классом.
Пример 5.1.6 Конечномерные операторы. Пусть K отображает все пространство X на конечномерное подпространство L 2 Y . Выбрав в L базис e1; e2; : : : ; en, разложим вектор Kx по базису
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xi |
iei: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Kx = |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
Пусть f1 |
; f2 |
; : : : ; fn |
|
Y - биортогональная система функционалов, т.е., |
||||||
e |
e |
|
e |
2 |
|
|
|
|
|
|
hfk; eii = ki (ñì. |
|
|
|
|
|
|
fk ê |
|||
e |
|
|
следствие 4.2.6 из теоремы Хана-Банаха). Применяя |
e |
||||||
разложению, получим |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
k = hfk; Kxi = hK fk; xi: |
|
|
|
||
Введя обозначение fk = K fk eX , ìû |
e |
|
K â âèäå |
|||||||
|
|
|
|
|
e 2 |
|
можем записать оператор |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K = |
eihfi; i: |
|
(5.1.1) |
||
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
Для сопряженного оператора будем иметь |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
hK z; xi = hz; Kxi = hz; |
X |
X |
|
|
||||
|
|
keki = khz; eki |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
k=1 |
|
|
nn
X |
X |
|
= hfk; xihz; eki = h |
hz; ekifk; xi: |
|
k=1 |
k=1 |
|
Следовательно, |
|
|
n |
|
|
K = Xh ; eiifi |
(5.1.2) |
|
i=1
также является конечномерным оператором.
Конечномерные операторы, даже если они действуют в бесконечномерных пространствах всегда компактны. Действительно, замкнутое ограни- ченное множество M X отображается конечномерным оператором K в
замкнутое ограниченное множество KM в конечномерном подпространстве L, значит KM компактно по теореме Больцано - Вейерштрасса.
5.1. КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА И ОПЕРАТОРЫ |
89 |
Определение 5.1.7 Мы говорим, что оператор K аппроксимируется конечномерными операторами, если для любого " > 0 существует конеч- номерный оператор K0 вида (5.1.1), такой что kK K0k < ".
Эквивалентное определение состоит в том, что существует последовательность конечномерных операторов Kn, сходящаяся равномерно к K.
Теорема 5.1.8 Если оператор аппроксимируется конечномерными, то он компактен.
Доказательство. Пусть K1; K2; : : : последовательность операторов, сходящаяся равномерно к K, и пусть x = fx1; x2; : : :g - ограниченная по-
следовательность векторов из X. Так как K1 компактен, то из последо- вательности x можно выделить подпоследовательность, назовем ее x(1) =
fx(1)1 ; x(1)2 ; : : :g такую, что последовательность
K1x(1) = fK1x(1)1 ; K1x(1)2 ; K1x(1)3 ; : : :g
сходится, и значит фундаментальна. Таким же образом из x(1) можно выде- лить подпоследовательность, назовем ее x(2) = fx(2)1 ; x(2)2 ; : : :g, для которой
K2x(2) = fK2x(2)1 ; K2x(2)2 ; K2x(2)3 ; : : :g
фундаментальна, и так далее. На n-м шаге получим подпоследовательность x(n) = fx(1n); x(2n); : : :g; для которой последовательность
Knx(n) = fKnx(1n); Knx(2n); Knx(3n); : : :g
фундаментальна. Составим теперь диагональную подпоследовательность
x(1)1 ; x(2)2 ; x(3)3 ; : : :
и покажем, что последовательность
Kx(1)1 ; Kx(2)2 ; Kx(3)3 ; : : : (5.1.3)
фундаментальна. Последовательность fxng ограничена, поэтому kxnk C для некоторой константы C. Для данного " > 0 выберем N так, чтобы kKN KkC < "=3. Тогда при m; n > N имеем
kKx(nn) Kx(mm)k kKN x(nn) KN x(mm)k
+k(K KN )x(nn)k + k(K KN )x(mm)k:
Второе и третье слагаемое меньше "=3, а первое слагаемое также будет
меньше "=3 при m и n достаточно больших. Действительно, x(nn) è x(mm) принадлежит подпоследовательности x(N), так как n; m > N, а по построе- нию последовательность KN x(N) фундаментальна, значит разность между ее членами стремится к нулю при m; n ! 1. Отсюда получаем, что после-
довательность (5.1.3) фундаментальна, и следовательно, сходится в силу полноты пространства Y .