Спектральная теория

а именно, если A - обратимый оператор, то уравнение (6.1.2) имеет един-

ственное решение при любой правой части v. Действительно, применяя ê (6.1.2) оператор A 1 и пользуясь первым равенством (6.1.1), получим u = A 1v. Обратно, подставляя u = A 1v в (6.1.2) и пользуясь вторым

равенством (6.1.1), получим, что это решение.

Эти рассуждения можно попытаться обратить. А именно, пусть дано,

что уравнение (6.1.2) имеет единственное решение при любой правой части. Тогда мы можем определить A 1 сопоставляя любому v 2 Y единственное

решение u 2 X уравнения (6.1.2). Неясно, однако, будет ли так определен-

ный оператор ограниченным. Утвердительный ответ на этот вопрос составляет содержание теоремы Банаха об обратном операторе. Доказательство ее довольно сложно, так что мы не будем ее доказывать и по возможности не будем ею пользоваться.

Определение 6.1.2 Пусть A : X ! X оператор в банаховом пространстве. Число 2 C называется регулярным значением A, если оператор A обратим. Оператор

R( ) = ( A) 1

называется резольвентой оператора A, а параметр 2 C - спектральным параметром.

Множество регулярных значений образует так называемое резольвентное множество (A), а дополнение к нему называется спектром (A).

Теорема 6.1.3 Спектр ограниченного оператора является замкнутым ограниченным множеством, содержащимся в круге j j kAk. Резольвен-

та является аналитической функцией на резольвентном множестве, удовлетворяющей тождеству Гильберта

R( )R( ) = R( ) R( );

для любых ; 2 (A)

Доказательство. Докажем, что резольвентное множество открыто. Пусть

2 (A). Тогда для любого мы можем записать

A = A + ( ) = ( A)(1 + ( )R( ));

откуда для обратных операторов (если они существуют) получаем

R( ) = (1 + ( )R( )) 1R( ):

При j j достаточно малых, а именно, таких что k( )R( )k < 1 это

выражение разлагается в ряд (ряд Неймана) как геометрическая прогрессия: 1

n=0

сходящийся по норме (равномерно) в круге j j < kR( )k. Обратно, ряд (6.1.3) действительно дает оператор обратный к A, в чем можно убе-

диться прямой проверкой, перемножив ряды. Таким образом, резольвента определена в некоторой окрестности точки , а это значит, что (A) от-

крыто. Более того, в этой окрестности операторная функция R( ) является

суммой сходящегося степенного ряда. Именно это мы имеем в виду, говоря, что резольвента является аналитической функцией.

При j j > kAk резольвента представляется рядом Неймана по обратным

AB, то B( A) = ( A)B, и, умножая на ( A) 1 справа и слева, получаем BR( ) = R( )B

Точки спектра классифицируются в зависимости от свойств отображения

Во-первых, спектру принадлежат собственные значения оператора. Действительно, если - собственное значение с собственным вектором e, то

решение уравнения ( A)u = v, даже если оно и существует, не будет единственным: вместе с решением u решениями будут и все векторы u + Ce при любой постоянной C. Это значит, что обратный оператор не существует

(отображение (6.1.4) не взаимно однозначно). Множество всех собственных значений называется точечным спектром.

Для остальных значений оператор A взаимно однозначно отображает X на линейное множество Im ( A), которое может быть не замкну-

тым и потому, вообще говоря, не является подпространством. Множество Im ( A) состоит из таких v, для которых уравнение ( A)u = v имеет

решение (единственное, так как по предположению не является собственным значением). При этом случай Im ( A) = X исключается, иначе по

теореме Банаха об обратном операторе ( A) 1 был бы ограничен. Оста- ется две возможности:

1.Im ( A) 6= X, но является плотным подмножеством в X, такие образуют непрерывный спектр,

2.Im ( A) не плотно в X, такие принадлежат остаточному спектру.

Пример 6.1.5 Оператор A в l2 действует по правилу

Afx1; x2; x3; : : :g = fx2; x3; : : :g:

Найдем спектр и расклассифицируем его.

Очевидно, что kAk = 1, значит спектр содержится в круге j j 1. Если j j < 1, то имеется единственный собственный вектор

e = f1; ; 2; : : :g 2 l2

с собственным значением .

Если j j = 1, то собственных векторов нет, поскольку

f1; ; 2; : : :g 62l2:

Значит отображение

( A) : l2 ! Im ( A)

взаимно однозначно, и остается выяснить, будет ли множество Im ( A) плотным в l2 или нет. Если предположить, что оно не плотно, то найдется вектор e, ортогональный ему, т.е., удовлетворяющий соотношению

0 = (( A)x; e) = (x; ( A )e)

для люблго x 2 l2. Тогда ( A )e = 0, т.е., e - собственный вектор сопряженного оператора

A fx1; x2; x3; : : :g = f0; x1; x2; : : :g:

Но нетрудно видеть, что у A вообще нет собственных векторов. Следова-

тельно, единичная окружность состоит из точек непрерывного спектра. Рассмотрим теперь подробнее случай, когда A : H ! H - самосопря-

женный оператор в гильбертовом пространстве Н, именно этот случай будет нас интересовать далее. Напомним (см. раздел 4.4.3), что у ограниченного самосопряженного оператора имеются нижняя и верхняя грани m и M, так

÷òî

m A M;

ïðè ýòîì kAk = maxfjMj; jmjg:

Лемма 6.1.6 Если m > 0 или M < 0 то оператор A обратим.

Доказательство. Пусть m > 0 (случай M < 0 сводится к этому умно-

Теорема 6.1.7 Спектр самосопряженного оператора принадлежит отрезку действительной оси [m; M], причем остаточный спектр пуст.

Доказательство. Пусть = + i 2 C. Докажем, что при 6= 0 оно

будет регулярным значением. Чтобы найти резольвенту, решим уравнение ( A)u = v, т.е.,

(( A) + i )u = v:

Применяя оператор A = ( A) i ; получим

(( A)2 + 2)u = ( A)v:

Оператор в левой части положителен, более того, его нижняя грань не меньше 2 > 0. По предыдущей лемме существует ограниченный обратный, и

значит,

u = R( )v = (( A)2 + 2) 1( A)v:

Если же действительно, то

M A m:

Тогда по лемме A обратим при > M или при < m.

Чтобы доказать, что нет точек остаточного спектра, рассмотрим действительное и покажем, что Im ( A) - плотное множество в H. Допуская

противное, получим, что существует вектор e, ортогональный Im ( A),

ò.å.,

(( A)x; e) = (x; ( A)e) = 0

для любого x 2 H. Тогда ( A)e = 0, т.е., e - собственный вектор A, и значит, принадлежит точечному спектру. Это завершает доказательство.