72 ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ И ОПЕРАТОРЫ

ßñíî, ÷òî f(y) = 0, à f(x0) = d. Далее

jf(y + tx0)j = jtjd = jtjdky + tx0k ky + tx0k

d

= kyt + x0kky + tx0k ky + tx0k;

òàê êàê ky=t + x0k d. Следовательно, норма f на L1 равна 1. Продолжив f на все E по теореме Хана - Банаха, получим требуемый функционал.

Следствие 4.2.6 Пусть e1; e2; : : : ; en - линейно независимая система векторов. Тогда существуют функционалы f1; f2; : : : ; fn, удовлетворяю- щие условиям

hfi; eji = ij:

Такая система векторов и функционалов называется биортогональной. Доказательство. Пусть L1 - подпространство, натянутое на векторы e2; e3; : : : ; en. Тогда e1 62L1, так что расстояние d1 îò e1 äî L1 положительно.

По следствию 4.2.5 существует функционал '1, такой что '1(e1) = d1 è '1 = 0 íà L1. Положим f1 = '1=d1.

Точно так же возьмем вектор e2 и подпространство L2, натянутое на векторы e1; e3; : : : ; en (все, кроме e2), и построим f2 è ò.ä.

4.3Сопряженное пространство

Теорема 4.3.1 Множество функционалов на банаховом пространстве E само является банаховым пространством.

Это пространство называется сопряженным к E и обозначается E .

Доказательство. Линейные операции над функционалами вводятся естественным образом

( f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x):

Нулем в E является нулевой функционал, т.е., такой что f(x) = 0 äëÿ любого x.

Норма функционала

kfk = sup jf(x)j

x6=0 kxk

задает на E структуру нормированного пространства, аксиомы легко проверяются. Отметим только, что из kfk = 0 следует, что jf(x)j kfkkxk = 0 для любого x. Таким образом, норма обладает свойством положительной определенности.

Докажем полноту E . Пусть fn - фундаментальная последовательность

Тогда для любого x 2 E числовая последовательность fn(x) фундаментальна, так как

jfn(x) fm(x)j kfn fmkkxk ! 0:

Следовательно, fn(x) сходится к некоторому числу f(x). Из линейности fn(x) и свойств предела вытекает, что f(x) - также линейный функционал. Покажем, что он ограничен, и что последовательность fn сходится к f по норме.

Из неравенства треугольника для норм следует, что

jkfnk kfmkj kfn fmk;

откуда вытекает, что kfnk - фундаментальная, а значит, сходящаяся числовая последовательность. Далее

jfn(x)j kfnkkxk;

откуда, переходя к пределу, получаем

jf(x)j lim kfnkkxk;

n!1

где в силу 4.3.1 правая часть произвольно мала при достаточно больших n.

Упражнение 4.3.2 Пусть L(X; Y ) - множество линейных ограниченных операторов из банахова пространства X в банахово пространство Y . Доказать, следуя доказательству теоремы, что L(X; Y ) - тоже банахово пространство.

4.3.1Функционалы в гильбертовом пространстве

В гильбертовом пространстве H с каждым вектором y можно связать функ- ционал fy по формуле

fy(x) = (y; x):

Его линейность очевидна, а ограниченность вытекает из неравенства КошиБуняковского

jfy(x)j = j(y; x)j kykkxk:

Таким образом, kfyk kyk. Эта оценка точна, в чем можно убедиться, положив в неравенстве Коши-Буняковского x = y.

Замечательно, что справедливо и обратное утверждение.

Теорема 4.3.3 (Лемма Рисса) Для любого функционала f в гильбертовом пространстве H существует единственный вектор y, такой что

f(x) = (y; x):

Доказательство. Уравнение f(x) = 0 определяет подпространство L H. Действительно, линейность L очевидна, а замкнутость следует из непрерывности f.

Если L совпадает со всем H, то f - нулевой функционал, тогда y = 0 - искомый вектор. Если же L не совпадает с H, то в ортогональном дополнении к L существует вектор x0, такой что f(x0) 6= 0. Возьмем

f(x0)

y = kx0k2 x0

и покажем, что функционал fy = (y; ) совпадает с f. Запишем произвольный вектор x 2 H в виде

номерно, оно порождается вектором x0. Следовательно, y пропорционален

x0, а из равенства (4.3.3) следует, что коэффициент пропорциональности должен равняться f(x0)=kx0k2: Это доказывает единственность.

является изометрией H на H , поскольку kyk = kfyk. Таким образом, сопряженным к гильбертову пространству является само это пространство. Подчеркнем, однако, что отображение (4.3.4) не является изоморфизмом (т.е., не сохраняет линейные операции) поскольку оно не линейно а сопряженно линейно:

( y; ) = (y; );

т.е., умножение вектора y на число соответствует умножению функционала

на комплексно сопряженное число. Для действительных пространств разница между линейным и сопряженно линейным отображением исчезает.

4.3.2Рефлексивность

Пусть E - банахово пространство, E - сопряженное пространство. Определим второе сопряженное пространство E êàê (E ) .

Теорема 4.3.4 Существует изоморфное и изометрическое вложение

i : E ! E :

Доказательство. Элементу x 2 E сопоставим функционал i(x) на пространстве E , который на функционале f( ) 2 E принимает значение hi(x); f( )i = f(x). Покажем, что это отображение сохраняет линейные операции и нормы.

Åñëè x = x1 + x2, òî

hi(x); f( )i = f( x1 + x2) = f(x1) + f(x2) = hi(x1); f( )i + hi(x); f( )i:

Следовательно, линейные операции сохраняются. Далее,

jhi(x); f( )ij = jf(x)j kfkkxk;

откуда следует, что ki(x)kE kxk. По теореме Хана-Банаха для данного вектора x 2 E найдется функционал f с нормой, равной 1, и такой, что f(x) = kxk. Отсюда следует, что оценка для нормы точна, т.е.,

ki(x)kE = kxk;

так что i - изометрия.

В конечномерном случае из подсчета размерностей вытекает, что E; E è E имеют одинаковые размерности, значит, E = E . В бесконечномерном случае равенства может и не быть, есть только включение E E .

Определение 4.3.5 Пространство E называется рефлексивным, если

E = E .

Пример 4.3.6 Гильбертово пространство рефлексивно, так как H = H, а значит (H ) = (H) = H.

В оставшейся части этого раздела мы рассмотрим подробно простран- ñòâà lp, ограничиваясь для простоты действительным случаем.

Обозначим через en последовательность, у которой на n-м месте стоит 1, а остальные элементы равны 0. Ясно, что en 2 lp при любых n и p, и при этом kenk = 1. Далее, если

x = fx1; x2; : : :g 2 lp; 1 p < 1;

а вместе с неравенством (4.3.8) получаем равенство (4.3.7).

Следствие 4.3.8 При 1 < p < 1 lp = lq:

По этой причине показатель q = p=(p 1) называется сопряженным к p. Так как сопряженным к q = p=(p 1) будет p, то

(lp) = (lp) = (lq) = lp;

т.е., пространство lp рефлексивно при 1 < p < 1.

Случай p = 1 резко отличается - пространство l1 не рефлексивно. Чтобы в этом убедиться, найдем сначала l1.

Теорема 4.3.9 Формула (4.3.6) тогда и только тогда определяет функционал на l1, когда последовательность y = fy1; y2; : : :g ограничена. При

ýòîì

Достаточность. Пусть y 2 l1 - ограниченная последовательность. По- скольку ряд P1k=1 jxkj сходится, то сходится и ряд

1 1

XX

пространство, а l1 - нет. Наше утверждение будет вытекать из следующей более общей теоремы.