Глава 2
Интеграл Лебега
В своих исследованиях по теории меры и интеграла Лебег первоначально преследовал цель усовершенствовать понятие определенного интеграла. Позже, в процессе дальнейших исследований, выяснилось, что теория Лебега имеет важнейшие приложения во многих областях математики. Для нас интересны так называемые пространства Лебега. В частности, пространство L интегрируемых по Лебегу функций, как мы увидим, является по-
полнением пространства Lc (см. пример 1.1.6). Отметим, что конструкция
пополнения, данная в теореме 1.4.4 приводит к элементам весьма сложной природы - это классы эквивалентных последовательностей функций, фундаментальных по метрике среднего отклонения. Хотелось бы, чтобы эти элементы тоже были бы некоторыми функциями. Теория Лебега позволяет дать такое описание, но это далеко не просто.
2.1Почему не все множества измеримы?
Мы будем строить теорию меры на Rn. Это значит, что нужно задать классмножеств A Rn, называемых измеримыми, и для любого A 2 задать число (A); (0 +1), называемое мерой, чтобы выполнялись
следующие условия.
1. Свойство дополнения. Если A измеримо, то и дополнение A = Rn n A также измеримо.
2. Нормировка. Множество |
|
P = fai xi < bi; i = 1; 2; : : :g; |
(2.1.1) |
называемое клеткой, измеримо, и |
|
P = (b1 a1)(b2 a2) : : : (bn an): |
(2.1.2) |
Рассматриваются также открытые клетки: ai < xi < bi, и замкнутые клетки: ai xi bi. Они также принадлежат , и их мера также задается формулой (2.1.2). Клеточное множество - это объединение конечного числе непересекающихся клеток, его мера равна сумме мер этих клеток.
17
18 |
|
|
ГЛАВА 2. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА |
|||
3. Счетная аддитивность. Если множества Ai; |
i = 1; 2; : : : измеримы и |
|||||
попарно не пересекаются, то |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
i |
[ |
|
|
|
|
|
A = |
=1 Ai |
|
|
|
|
è |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xi |
|
|
|
|
|
(A) = (Ai): |
|
(2.1.3) |
|||
|
|
=1 |
|
|
Пусть = f 1; 2; : : : ; ng |
|
4. |
n |
|
|
|
||
|
Инвариантность относительно сдвигов. |
|
|
|||
вектор в R , и x 7!x + - преобразование сдвига на вектор . Для множества A пусть A + обозначает множество, полученное сдвигом на всех элементов A. Потребуем, чтобы для A 2 множество A + было также
измеримо, и |
|
(A) = (A + ): |
(2.1.4) |
В курсе анализа рассматривалась мера Жордана. Она обладает вышеперечисленными свойствами, кроме счетной аддитивности. Вместо него выполняется более слабое свойство конечной аддитивности. Известны примеры множеств, неизмеримых по Жордану. Простейший пример - множество рациональных чисел отрезка [0; 1]. Предположим теперь, что мы построили
более совершенную меру, чем мера Жордана. Спрашивается, можно ли добиться того, чтобы класс измеримых множеств состоял из всех множеств в Rn. Мы покажем, что если мера обладает вышеперечисленными свойствами
1 - 4, то неизмеримые множества обязательно должны быть. Соответствующий пример значительно сложнее, чем для меры Жордана. Более того, никому не удалось построить неизмеримое множество эффективно, удается только доказать его существование. В оставшейся части этого параграфа мы излагаем соответствующее доказательство.
Мы рассмотрим одномерный случай ( n = 1) и вместо прямой R бу-
дем рассматривать окружность длины 1. Свойство нормировки (свойство 2) означает, что мера дуги окружности равна длине этой дуги, а свойство инвариантности при сдвигах (свойство 4), что мера инвариантна относительно поворотов. Точки окружности задаются действительными числами из промежутка [0; 1), а повороты - преобразованиями x 7!xf+ g, где фи-
гурные скобки означают дробную часть числа.
Разобьем точки окружности на непересекающиеся классы: точки x и y отнесем к одному классу, если разность x y - рациональное число, в против-
ном случае относим их к разным классам. Пусть теперь из каждого класса выбрано по одному представителю. Обозначим через Z множество, состо-
ящее из этих представителей. Мы утверждаем, что по какому бы правилу ни выбирать представителей, полученное множество Z будет неизмеримым
(мы не можем указать ни одного правила для выбора представителей, поэтому наша конструкция неэффективна).
Занумеруем все рациональные числа r 2 [0; 1) в последовательность rn è рассмотрим множества Zn, полученные из Z сдвигами на rn. Мы утвержда- åì, ÷òî Zm è Zn не пересекаются при rm 6= rn. Действительно, в противном