5.3. ТЕОРИЯ ГИЛЬБЕРТА - ШМИДТА |
103 |
òàê ÷òî Kzn+1 ! 0, а это означает, что
1
X
Kx = ek(ek; Kx);
k=1
что и доказывает первую часть теоремы. Для произвольного вектора x 2 H пусть
1
X
z = x ek(ek; x) = lim zn+1
n!1
k=1
разность между вектором x и его рядом Фурье. Тогда
Kz = lim Kzn+1 = 0:
n!1
Следовательно, z является собственным вектором с собственным значением
0. Отсюда следует вторая часть теоремы.
5.3.1Интегральные операторы
Если K - интегральный оператор в пространстве L2[a; b] с эрмитовым непрерывным ядром
k(x; y) = k(y; x);
то теоремы предыдущего пункта допускают существенные уточнения.
1. Непрерывность собственных функций. Собственные функции ek(x)
принадлежат априори пространству L2, и следовательно, L1, òàê êàê
|
a |
jfjdx! |
2 |
jfj2dx |
|
a |
1dx = kfk22(b a): |
|
a |
|
|||||
Z |
b |
|
Z |
b |
Z |
b |
|
|
|
|
|
|
Ïðè k 6= 0 собственная функция удовлетворяет уравнению
1 Z b
ek(x) = k a k(x; y)ek(y)dy:
В интеграле справа имеем интегрируемую мажоранту
max jk(x; y)jjek(y)j;
следовательно, по теореме Лебега о мажорированной сходимости возможен предельный переход при x ! x0.
2. Уточнение теоремы о разложении. Для функций u(x) 2 L2 истоко- образная представимость означает, что
Z b
u(x) = (Ku)(x) = k(x; y)v(y)dy
a
104 |
ГЛАВА 5. КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
для некоторой функции v 2 L2. При этом коэффициенты Фурье функций u и v связаны равенством
(ek; u) = k(ek; v);
и ряд Фурье для функции u имеет вид
1 |
1 |
XX
u(x) = |
ek(x)(ek; u) = |
kek(x)(ek; v); |
(5.3.7) |
|
k=1 |
k=1 |
|
при этом ряд Фурье сходится в L2, т.е., в среднем квадратичном по теореме 5.3.3.
Теорема 5.3.4 (Гильберт - Шмидт) Если функция u(x) истокообраз-
но представима, то ее ряд Фурье по собственным функциям сходится абсолютно и равномерно на [a; b] к функции u(x):
Доказательство. Рассмотрим ядро k(x; y) как функцию x 2 [a; b] при фиксированном y и вычислим ее коэффициенты Фурье. Пользуясь эрмитовостью ядра и определением собственной функции, получим
Z b Z b
(ek(x); k(x; y)) = ek(x)k(x; y)dx = ek(x)k(y; x)dx = kek(y):
a a
Сам ряд Фурье принимает вид
1 |
|
X |
|
k(x; y) kek(x)ek(y) |
(5.3.8) |
k=1
Отсюда по неравенству Бесселя следует, что
1Z b
X |
|
|
|
j kek(y)j2 |
a |
jk(x; y)j2dx M2(b a); |
(5.3.9) |
k=1 |
|
|
|
где M - это максимум функции jk(x; y)j на квадрате x; y 2 [a; b].
Докажем теперь, что ряд (5.3.7) сходится абсолютно и равномерно по x 2 [a; b]. По неравенству Коши - Буняковского для сумм
n!2
kX |
X |
X |
j kek(x)(ek; v)j |
j kek(x)j2 |
j(ek; v)j2: |
=m |
|
|
Первый множитель равномерно ограничен в силу (5.3.9), а второй стремит- ся к нулю, так как числовой ряд P1k=1 j(ek; v)j2 сходится по неравенству
Бесселя. Следовательно, ряд (5.3.7) сходится абсолютно и равномерно по критерию Коши равномерной сходимости.
3. Билинейный ряд для повторного ядра. Повторное ядро k2(x; y) - ÿäðî оператора K2, следовательно,
Z b
k2(x; y) = k(x; z)k(z; y)dz:
a