4.4. СОПРЯЖЕННЫЕ И САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
83 |
|
Упражнение 4.4.10 Пусть K - интегральный оператор в пространстве |
||
L2(1; 1) с непрерывным ядром K(t; ). Пусть |
|
|
1 |
1 |
|
Z1 jK(t; )jd C; |
Z1 jK(t; )jdt C: |
|
Доказать, что оператор ограничен, и его норма не превосходит C.
Понятие сопряженного оператора в гильбертовом пространстве несколько упрощается, благодаря лемме Рисса. В самом деле, выражение f(Ax) по
лемме Рисса допускает запись (y; Ax), где y 2 H - некоторый вектор. С другой стороны, (y; Ax) - это линейный функционал от вектора x, следова-
тельно, он должен иметь вид (z; x), где z тоже некоторый вектор, который по определению сопряженного оператора и есть A x. Итак, сопряженный оператор в гильбертовом пространстве задается равенством
(y; Ax) = (A y; x): |
(4.4.5) |
4.4.3Самосопряженные операторы
В заключение рассмотрим самосопряженные операторы , т.е., такие, для которых A = A, и равенство (4.4.5) принимает вид
(y; Ax) = (Ay; x):
Лемма 4.4.11 Билинейная форма B(y; x) = (y; Ax), соответствующая самосопряженному оператору, эрмитова, т.е.,
B(y; x) = B(x; y);
а соответствующая квадратичная форма B(x; x) действительна.
Доказательство. Имеем
B(y; x) = (y; Ax) = (Ay; x) = (x; Ay) = B(x; y):
Если положить y = x, то получим
B(x; x) = B(x; x);
что и дает действительность B(x; x):
Самосопряженные операторы можно сравнивать, как и действительные числа. Мы говорим, что A B, если
(x; Ax) (x; Bx)
для любого x 2 H. Поскольку значения квадратичной формы действитель-
ны, то неравенства имеют смысл. В частности, можно говорить о положительных самосопряженных операторах ( A > 0), понимая под этим, что
квадратичная форма (x; Ax) положительно определена. Заметим, однако,
что в отличие от действительных чисел не любые два самосопряженных оператора сравнимы, т.е., не всегда либо A B, либо B A.
84 |
ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ И ОПЕРАТОРЫ |
Упражнение 4.4.12 Привести пример несравнимых самосопряженных операторов в двумерном пространстве.
Для самосопряженного оператора его норма связана с максимальным и минимальным значением квадратичной формы на единичной сфере.
Теорема 4.4.13 Пусть
M = sup |
(x; Ax) |
||
|
kxk2 |
||
x6=0 |
|
||
m = inf |
(x; Ax) |
|
|
|
kxk2 |
||
x6=0 |
|
||
Тогда kAk = max(jMj; jmj): |
|
|
|
Доказательство. Пусть
C = sup
= sup (x; Ax);
kxk=1
= inf (x; Ax):
kxk=1
j(x; Ax)j:
kxk=1
Очевидно, что C = max(jMj; jmj), так что нужно доказать, что C = kAk. По неравенству Коши-Буняковского
j(x; Ax)j kxkkAxk kAkkxk2;
откуда следует, что C kAk:
Для доказательства обратного неравенства рассмотрим тождества
(x + y; A(x + y)) = (x; Ax) + (y; Ay) + (x; Ay) + (y; Ax) (x y; A(x y)) = (x; Ax) + (y; Ay) (x; Ay) (y; Ax):
Вычитая их и учитывая, что
(x; Ay) + (y; Ax) = (x; Ay) + (Ay; x) = 2<(x; Ay);
получим
<(x; Ay) = 14((x + y; A(x + y)) (x y; A(x y))):
Отсюда
j<(x; Ay)j C (kx + yk2 + kx yk2) = C kxk2 + kyk2 :
4 2
При kxk = kyk = 1 получаем
j<(x; Ay)j C:
Пусть y таково, что Ay 6= 0. Подставляя x = Ay=kAyk, приходим к неравен-
ñòâó |
|
( |
|
Ay |
= kAyk C: |
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Ay; Ay) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
k |
|
|
A |
|
C: |
||
Оно тем более верно, если |
Ay = 0. Отсюда |
следует, что |
k |
k |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4.4. СОПРЯЖЕННЫЕ И САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
85 |
Упражнение 4.4.14 Доказать, что произведение AB самосопряженных операторов A и B является самосопряженным тогда и только тогда, когда A и B перестановочны.
4.4.4Виды сходимости
Рассматривая пространства функционалов, мы встретились с двумя видами сходимости: сходимость по норме и сходимость на каждом векторе (см. теорему 4.3.1 и ее доказательство). Было доказано, что из сходимости по норме вытекает сходимость на каждом векторе. В этом разделе мы рассмотрим подробнее различные понятия сходимости последовательностей элементов и операторов в банаховых и гильбертовых пространствах.
Пусть xn последовательность элементов банахова пространства E. Мы называем такую последовательность сходящейся к вектору x и пишем xn ! x, åñëè kxn xk ! 0. Такую сходимость называют еще сильной сходимостью.
Можно вести и другой вид сходимости.
Определение 4.4.15 Последовательность xn сходится слабо к x (обозначение xn * x), если для любого функционала f 2 E имеем
f(xn) ! f(x):
В частности, для гильбертова пространства это означает, что для любого вектора y
(y; xn) ! (y; x):
Из неравенства Коши-Буняковского вытекает, что из сильной сходимости следует слабая сходимость. Обратное неверно.
Упражнение 4.4.16 Пусть en - ортонормированная последовательность векторов гильбертова пространства. Доказать, что en
но сходится слабо. Чему равен слабый предел?
Более точную связь между сильной и слабой сходимостью дает следующее предложение.
Предложение 4.4.17 Пусть в гильбертовом пространстве xn * x и пусть kxnk ! kxk. Тогда xn сходится к x сильно.
Доказательство. Имеем
kxn xk2 = kxnk2 + kxk2 (xn; x) (x; xn):
В силу слабой сходимости (x; xn) ! (x; x) = kxk2; и также (xn; x) ! kxk2: Следовательно,
nlim kxn xk2 = nlim kxnk2 kxk2 = 0: |
|
!1 |
!1 |
Еще больше возможностей возникает при рассмотрении сходимости операторов.
86 ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ И ОПЕРАТОРЫ
Определение 4.4.18 Последовательность операторов An сходится к оператору A
1.равномерно (по норме), если kAn Ak ! 0,
2.сильно (на каждом векторе), если для любого x Anx ! Ax сильно,
3.слабо, если для любого вектора x Anx * Ax.
Упражнение 4.4.19 Доказать, что из равномерной сходимости следует сильная, а из сильной - слабая.