2.5.2Сравнение интегралов Римана и Лебега

42 ГЛАВА 2. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА

соответственно верхним S и нижним s суммам Дарбу для данного раз- биения. Так как функция интегрируема по Риману, то при max j xij ! 0 пределы верхних и нижних сумм Дарбу совпадают, и их общее значение и есть интеграл Римана.

Возьмем последовательность разбиений N для которых max j xij стремится к 0, и так, чтобы N+1 было измельчением N . Будем упрощать обо-

значение f N äî fN (x) и аналогично для fN . Тогда

fN (x) fN+1(x) f(x) fN+1 fN (x):

Последовательность fn(x) монотонно убывает и ограничена, следовательно,

она имеет предел, который мы обозначим f(x). Аналогично, fN (x) имеет

предел f(x). Ясно, что f(x) f(x) f(x). По теореме Беппо Леви

Мы пользуемся значками (L) и (R), чтобы различать интегралы Лебега

и Римана. Если же такого значка нет, то это означает, что оба интеграла имеют смысл и совпадают. Последний интеграл равен разности верхней и нижней сумм Дарбу, так что limn!1(SN sN ) = 0, поскольку f(x) интегрируема по Риману.

Упражнение 2.5.5 Доказать, что если f(x) 0 и

Z b

f(x)d = 0;

a

òî f(x) = 0 ï.â.

Пользуясь результатом этого упражнения, получаем, что

f(x) = f(x) = f(x)

п.в.. Следовательно,

Z b Z b

= (L) f(x)d = (L) f(x)d :

aa

Мы здесь снова воспользовались теоремой Беппо Леви о монотонной сходимости.

Для несобственных интегралов ситуация более интересная. Если несобственный интеграл Римана сходится абсолютно, то функция суммируема. Действительно, для абсолютно сходящихся интегралов сходятся интегралы

Это влечет суммируемость f+ è f и согласно определению 2.4.5 суммируемость f. Если же сходимость несобственного интеграла Римана условная, то

интегралы от положительной и отрицательной части функции расходятся, следовательно, f+ è f не будут суммируемыми, тогда согласно определению 2.4.5 не будет суммируемой и сама функция f.

2.5.3Полнота пространства L

В примере 1.1.6 было рассмотрено метрическое пространство Lc[a; b] непре-

рывных функций с метрикой среднего отклонения. Это пространство неполно, и нас будет интересовать его пополнение. Здесь мы дадим более явную конструкцию пополнения, отличающуюся от общей конструкции теоремы 1.4.4. Единственность пополнения гарантирует, однако, что эти две конструкции совпадают с точностью до изометрии.

Пусть L = L( ) - пространство интегрируемых по Лебегу функций на измеримом множестве . Ведем расстояния между функциями f(x) и g(x) по формуле

Z

(f; g) = jf gjd : (2.5.1)

(среднее отклонение). Здесь и далее интегралы понимаются в смысле Лебега. Такое расстояние удовлетворяет всем аксиомам метрики, кроме одной: из того, что (f; g) = 0, не следует, что функции совпадают.

Чтобы исправить положение, будем отождествлять две функции, совпадающие п.в. Кроме того, сами функции могут быть определены не всюду в, а только почти всюду, на расстоянии это никак не скажется.

Определение 2.5.6 Пространство L( ), (обозначаемое также L1( )), состоит из классов эквивалентности интегрируемых функций, определенных п.в. в . Две функции эквивалентны, если f и g п.в. совпадают. Рас-

стояние определяется по формуле (2.5.1), где f и g - произвольные представители своих классов.

Впрочем, в дальнейшем мы не будем столь педантичными, и будем говорить о функциях, а не об их классах эквивалентности и о равенстве функций, а не совпадении классов, подразумевая, что эквивалентные функции нужно отождествлять.

Следующая теорема сыграла выдающуюся роль в становлении функционального анализа.

Теорема 2.5.7 (Рисс - Фишер) Пространство L полно.

Доказательство. Пусть fn(x) - фундаментальная последовательность, т.е.,

44 ГЛАВА 2. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА

Пользуясь (2.5.2), построим подпоследовательность fnk , так чтобы

Z

1

(fnk+1 ; fnk ) = jfnk+1 fnk jd < 2k :

Для этого выберем n1, так чтобы (fn; fn1 ) < 1=2 ïðè âñåõ n > n1. Èç таких n выберем n2, чтобы (fn; fn2 ) < 1=22 ïðè âñåõ n > n2, è ò.ä. Ìû

покажем, что эта подпоследовательность сходится к некоторой функции f(x) 2 L, а так как последовательность фундаментальна, то из сходимости

подпоследовательности вытекает сходимость всей последовательности к тому же пределу. Поэтому, не уменьшая общности, можно считать, что сама последовательность удовлетворяет неравенствам

Z

1

jfn+1 fnjd < 2n :

Тогда ряд из интегралов

1 Z

X

jfn+1 fnjd

n=1

сходится, и по теореме Б. Леви п.в. сходится функциональный ряд

1

X

jfn+1(x) fn(x)j:

n=1

Тем более сходится и ряд

1

X

(fn+1(x) fn(x)):

n=1

Другими словами, последовательность fn(x) сходится к некоторой функции f(x) п.в. Зафиксируем n и рассмотрим последовательность

'm(x) = jfm(x) fn(x)j; m = n + 1; n + 2; : : : :

По доказанному

'm ! jf(x) fn(x)j

п.в. при m ! 1. Кроме того, интегралы от функций 'm ограничены

Z

1

'md < 2n :

По лемме Фату предельная функция интегрируема, и ее интеграл ограничен

той же константой Z

1

jf(x) fn(x)jd < 2n :

Отсюда следует, что f fn 2 L, и значит f(x) 2 L, а также, что (f; fn) ! 0.

Замечание 2.5.8 Попутно мы доказали следующий полезный факт: из любой последовательности, сходящейся в среднем (т.е., по метрике L) мож-

но выделить подпоследовательность, сходящуюся п.в.