Задачи
Глава 1
1. Доказать, что аксиомы расстояния выполняются в примерах 1.1.2 - 1.1.6.
2.Сформулировать определение предела на языке "" N".
3.Дать определение непрерывности отображения на языке "" ":
4.Доказать, что сходимость последовательности xn(t) 2 C[a; b] - это равномерная сходимость функциональной последовательности.
5.Сходится ли в C[0; 1] последовательность
xn(t) = tn tn+1;
tn t2n:
6. Сходится ли последовательность
tn+1 tn+2
xn(t) = n + 1 n + 2
à) â C[0; 1]?, á) â C(1)[0; 1]?
7.Доказать, что из сходимости в C[a; b] вытекает сходимость той же последовательности в Lc[a; b].
8.Будут ли полными пространства в примерах 1.1.2 - 1.1.6?
9.Разобрать пример 1.3.2.
10.Разобрать пример 1.3.3.
11. Перепишем уравнение F (x) = 0; x 2 [a; b]; в виде x = x F (x). Всегда ли можно подобрать , чтобы отображение x 7!x F (x) было сжатием отрезка [a; b]?
12. Дано уравнение x(t) = t + "x(t3); j"j < 1. Доказать, что существует единственное решение x(t) 2 C[0; 1]: Сколько нужно сделать итераций для
решения уравнения с точностью 0; 01 при " = 0:5?
13. Пусть F (x(t)) = 1 + R0t x( )d - отображение C[0; 1] в C[0; 1]. Доказать, что при j j < 1 - это сжатие. Найти неподвижную точку, вычислив
предел последовательности итераций. 14. Рассмотреть пример отображения
F : x 7!12 x + xa
149
150 Задачи
на пространстве Q+ рациональных положительных чисел ( a 2 Q+). Почему неверна теорема о неподвижной точке?
15. Рассмотреть пример |
|
|
1 |
|
|
F : x 7!x + |
|
; x > 1: |
x |
||
Почему неверна теорема о неподвижной точке?
16.Доказать, что пространства C[0; 1] и C[0; 2] изометричны.
17.Пусть M - полное метрическое пространство с метрикой (x; y). Будут ли метриками функции
1 = 1 + ; 2 = ln(1 + ); 3 = minf1; g:
Будет ли полным пространство M с такими метриками? 18. Будет ли полным R с метрикой
(x; y) = j arctg x arctg yj;
(x; y) = jex eyj;
(x; y) = jx3 y3j?
Если нет, то описать пополнение.
Глава 2
19. Доказать лемму Гейне-Бореля: пусть F - замкнутое ограниченное множество в Rn. Тогда из любого покрытия F открытыми множествами можно выделить конечное покрытие.
20.Верхняя мера счетного множества равно 0. В частности, множество рациональных чисел имеет верхнюю меру 0.
21.Привести пример неизмеримого множества.
22.Канторово множество K определяется так: делим отрезок [0; 1] на
три равные части и выбрасываем средний интервал (1=3; 2=3). Оставшиеся два отрезка [0; 1=3] и [2=3; 1] опять делятся на три равные части, и средние интервалы выбрасываются, и т.д. до бесконечности. Оставшееся множество
èесть канторово множество. Доказать
K - нигде не плотно, т.е., любой интервал ( ; ) [0; 1] содержит подинтервал ( 1; 1), свободный от точек K,
K - несчетно (имеет мощность континуума),
K - имеет меру 0.
Задачи |
151 |
23. Рассмотрим множество действительных чисел отрезка [0; 1], в пред-
ставлении которых с помощью бесконечных десятичных дробей не встреча- ется цифра 5. Доказать измеримость этого множества и найти его меру.
24.Измеримы ли открытые множества? Почему?
25.Привести пример борелевского множества, но не замкнутого и не открытого.
26.Доказать, что множества меры 0 измеримы.
27.Доказать измеримость непрерывной функции.
28.Доказать, что для измеримой функции прообразы борелевских множеств на прямой измеримы.
29.Доказать, что функция Дирихле измерима.
30.Доказать, что функция Дирихле неинтегрируема по Риману, но интегрируема по Лебегу.
31.Характеристическая функция множества Z, равная 1 при x 2 Z и
0 в противном случае, измерима тогда и только тогда, когда множество Z измеримо.
32.Простая функция измерима.
33.Доказать линейность, монотонность и аддитивность интеграла. Обладает ли он свойством счетной аддитивности?
R
34. Доказать, что если f(x) 0 и G fd = 0, то f(x) = 0 почти всюду.
35.Вычислить интеграл Лебега R01 f(x)d , ãäå f(x) = x 1=3 при x - иррациональных и f(x) = x1=3 при x рациональных.
36.Может ли последовательность, сходящаяся в среднем, не сходиться ни в одной точке?
37.Из последовательности функций, сходящейся в среднем, можно выделить подпоследовательность, сходящуюся почти всюду.
38.Доказать, что последовательность функций xn(t) = n2te nt сходится
âкаждой точке отрезка [0; 1], но не сходится в среднем. Почему неприме-
нима теорема Лебега?
39.Доказать, что множество многочленов плотно в L[0; 1].
40.Доказать, что множество ступенчатых функций плотно в L[0; 1].
41.В пространстве L[0; 1] рассмотрим множество функций, равных нулю
âнекоторой окрестности точки 0,5. Будет ли оно плотным?
Глава 3
42. Изобразить единичный шар в R2 с нормой kxkp = (xp1 + xp2)1=p ïðè различных p; 1 p 1:
43. Доказать, что единичный шар - это выпуклое центрально симметричное множество.
44.Будет ли функция (xp1 + xp2)1=p нормой в R2 ïðè p < 1?
45.Будет ли нормой в C(2)[0; 1]
kx(t)k = jx(0)j + jx0(0)j + max jx00(t)j:
t2[0;1]
152 |
Задачи |
Будет ли она эквивалентна стандартной норме в C(2)[0; 1]? 46. Построить пример последовательности
x(n) = fx(1n); x(2n); x(3n); : : :g;
принадлежащей каждому из рассматриваемой пары пространств и
сходящейся в m, но не сходящейся в l1,
сходящейся в l2, но не сходящейся в l1,
сходящейся в c0, но не сходящейся в l2.
47.Доказать, что lp c0, но существует x 2 c0< не принадлежащий никакому lp.
48.Будет ли линейное множество банахова пространства банаховым пространством? Почему?
49.Будет ли подпространство банахова пространства банаховым пространством?
50.Будут ли подпространствами в C[ 1; 1] следующие множества
множество монотонных функций?
множество четных (нечетных) функций?
множество многочленов?
множество функций, удовлетворяющих условию x(0) = 0?
удовлетворяющих условию R 11 x(t)dt = 0?
51. Пусть L - множество последовательностей x = fx1; x2; x3; : : :g, äëÿ
P1
которых k=0 xk = 0. Будет ли множество L \ l1 подпространством в l1? Будет ли L \ l2 подпространством в l2?
52.Доказать сепарабельность c; c0; lp.
53.Доказать полноту Lp и его сепарабельность.
54.Пусть в банаховом пространстве дана последовательность вложенных замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к 0. Доказать, что существует единственная точка, принадлежащая всем шарам.
55.Доказать, что в C[01] нельзя ввести скалярное произведение, опре-
деляющее норму.
56.Доказать, что равенство параллелограмма не только необходимо, но
èдостаточно для того, чтобы норма порождалась скалярным произведением. При этом скалярное произведение задается формулами
(x; y) = 12(kx + yk2 kx yk2)
в действительном случае и
(x; y) = 14(kx yk2 kx yk2 ikx + iyk2 + ikx iyk2)
Задачи |
153 |
âкомплексном случае.
57.Доказать что для любого множества M в гильбертовом пространстве
ортогональное дополнение замкнуто.
58.Доказать, что M (M?)?: Когда возможно равенство?
59.Доказать, что L2[0; 1] L1[0; 1]. Верно ли обратное включение? Верно ли, что L2(1; 1) L1(1; 1)?
60.Найти углы треугольника в L2[ 1; 1] с вершинами x1(t) = 0; x2(t) = 1; x3(t) = t.
61.Ортогонализовать систему функций
x0 = 1; x1 = t; x2 = t2; x3 = t3
à) â L2[0; 1], á) â L2[ 1; 1].
62. Многочлены Эрмита получаются ортогонализацией системы степеней на всей оси (1; 1) относительно скалярного произведения
|
Z 1 |
(x(y); y(t)) = |
x(t)y(t)e t2 dt: |
|
1 |
Найти три первых многочлена Эрмита. Будет ли эта система полной? 63. Пусть M = fx(t) 2 L2[0; 1] : R01 x(t)dt = 0g. Описать M?.
Глава 4
64. Доказать ограниченность следующих линейных функционалов и най-
ти их нормы: |
|
|
hf; xi = |
11 x(t)dt x(0) â C[ 1; 1], |
|
R |
1 |
t 1=3x(t)dt â L2[0; 1]. |
hf; xi = R0 |
||
65. Доказать, что следующие операторы линейны и ограничены. Найти их нормы.
A : C[0; 1] ! C[0; 1]; Ax(t) = R0t x( )d :
A : C[ 1; 1] ! C[0; 1]; Ax(t) = x(t):
A : C(1)[0; 1] ! C[0; 1]; Ax(t) = x0(t):
A : L2[0; 1] ! L2[0; 1]; Ax(t) = t R01 x( )d :
L2[0; 1] ! L2[0; 1]; Ax(t) = R0t x( )d : (Норму вычислять не надо, достаточно оценить ее.)
66. Найти общий вид линейного ограниченного функционала в lp (ñì. теорему 4.3.7).
154 |
Задачи |
67.В пространстве R2 с евклидовой нормой рассмотрим подпростран-
ñòâî L = fx 2 R2 : 2x1 x2 = 0g и функционал, заданный на L по формуле hf; xi = x1: Продолжить его на все R2 с сохранением нормы.
68.Пусть X - рефлексивное банахово пространство, f 2 X . Доказать,
что существует такое x 2 X, что hf; xi = kfkkxk.
69. Доказать что норма оператора A : X ! Y равна
kAk = sup jhf; Axij;
где супремум берется по всем x 2 X; f 2 Y ; kxk = kfk = 1.
70. Пусть бесконечная матрица aij; |
i; j = 1; 2; : : : 1 удовлетворяет усло- |
|
âèÿì |
1 |
1 |
|
||
XX
jaijj C; |
jaijj C: |
i=1 |
j=1 |
Доказать, что норма оператора (4.4.4) в lp; 1 < p < 1 не превосходит C. (См. предложение 4.4.9)
71. Доказать ограниченность интегрального оператора в Lp[a; b], при условии, что его ядро K(x; y), удовлетворяет неравенствам
Zab jK(x; y)jdx C; |
Zab jK(x; y)jdy C: |
||
72. Найти норму оператора |
|
|
|
Au(x) = x Z0 |
x |
||
u(y)dy |
|||
|
1 |
|
|
âLp(0; 1).
73.Пусть A : X ! Y - ограниченный оператор в банаховых простран-
ствах. Пусть Im A - образ A, т.е., множество векторов вида Ax; x 2 X, а Ker A - ядро A, т.е., множество таких x 2 X, для которых Ax = 0. Будут ли эти множества подпространствами в Y и X соответственно.
74. Пусть L(X; Y ) - множество линейных ограниченных операторов в банаховых пространствах. Доказать, что L(X; Y )- тоже является банаховым
пространством. (См. теорему 4.3.1).
75. Найти операторы A ; AA ; A A для
Z t
A : x(t) 7! x( )d
0
âL2[0; 1].
76.Пусть X; Y; Z - банаховы пространства, A : X ! Y и B : Y ! Z - операторы. Доказать, что (BA) = A B .
77.Привести пример несравнимых самосопряженных операторов.
78.Доказать, что произведение AB самосопряженных операторов яв-
ляется самосопряженным оператором тогда и только тогда, когда A и B перестановочны.
Задачи |
155 |
79.Пусть en - ортонормированная последовательность векторов гильбертова пространства. Доказать, что en не сходится сильно, но сходится слабо. Чему равен слабый предел?
80.Рассмотрим последовательности операторов в l2
Anx = fx1=n; x2=n; x3=n; : : :g;
Bnx = f0; 0; : : : 0; xn+1; xn+2; : : :g;
Dnx = f0; 0; : : : 0; x1; x2; : : :g:
Каков характер сходимости (равномерная, сильная или слабая).
81.Доказать, что из равномерной сходимости операторов следует сильная, а из сильной слабая.
82.Пусть An последовательность самосопряженных операторов и пусть последовательности An è A2n слабо сходятся к A è A2 соответственно. До- казать, что An ! A сильно.
Глава 5
83. Доказать, что в полном пространстве замкнутое предкомпактное множество компактно.
84. Доказать, что единичная сфера kxk = 1 в бесконечномерном гиль-
бертовом пространстве некомпактна.
85. Доказать, что если A и B компактные операторы, то A + B - также компактный оператор.
86.Доказать, что если A - ограниченный оператор, а B - компактный, то AB и BA - также компактны.
87.Доказать, что последовательность компактных операторов, сходящаяся равномерно, сходится к компактному оператору.
88.Пусть en - ортонормированная система векторов, и n - последова-
тельность, стремящаяся к нулю. Доказать, что оператор
1
X
Ax = n(en; x)en
n=1
компактен.
89. Решить интегральное уравнение
Z 1
y(x) = (1 + xt)y(t)dt + ax3 + bx + d:
1
90.Каковы собственные функции интегрального оператора с ядром k(x; t) = cos(x-t) на отрезке а) [0; ]? б)[0; =2]?
91.Найти резольвенту оператора Вольтерра
Z x
Ky(x) = xty(t)dt
0
156 Задачи
на полуоси [0; 1).
92. Найти собственные значения и собственные функции интегрального |
|
оператора Ky(x) = R0 k(x; t)y(t)dt; ãäå |
|
|
ch t ch (x ); x t: |
k(x; t) = |
ch x ch (t ); x t; |
93. Свести задачу Штурма - Лиувилля |
|
y00 = y; |
y(0) = 0; y0( ) + y( ) = 0 |
êинтегральному уравнению.
94.Решить задачу на экстремум
Z Z
k(x; t)y(x)y(t)dxdt = max
00
при условии R0 y2(x)dx = 1, ãäå |
|
|
x t: |
|
|
+ 1 t( + 1 x); |
|||
k(x; t) = |
1 |
x( + 1 |
t); |
x t; |
|
|
|||
95. Найти норму оператора
Z t
Ax(t) = x( )d
0
â L2[0; 1], рассмотрев оператор A A и связав его с задачей Штурма - Лиувилля.
Глава 6
96. Пусть P - оператор ортогонального проектирования. Каков его спектр? Найти его резольвенту, а также оператор f(P ) для произвольной непрерывной функции f( ):
97.Пусть A - оператор умножения на функцию x в L2[0; 1]. Найти его спектральную функцию, пользуясь формулой Стоуна.
98.Доказать, что 2 R является регулярной точкой самосопряженного
оператора A тогда и только тогда, когда является точкой постоянства его спектральной функции, т.е., существует такое > 0, что
E( + ) E( ) = 0:
99. Доказать, что 2 R принадлежит точечному спектру самосопряженного оператора A тогда и только тогда, когда является точкой разрыва
его спектральной функции. Методом исключения охарактеризовать точки непрерывного спектра в терминах спектральной функции.
Задачи
100. Доказать, что если E( ) кусочно постоянна, то интеграл
Pn
совпадает с суммой i=1 iPi< ãäå i - точки разрыва спектральной функции, а Pi = E( i + 0) E( i 0) - скачки в точках разрыва.
101. Доказать, что для любого многочлена f( ) справедлива формула
Z b
f(A) = f( )dE( ):
a
То же для рациональной функции f( ), не имеющей полюсов на спектре A. 102. Доказать, что для любой непрерывной функции f( ) существует
интеграл Стильтьеса
b |
n |
Za |
f( )dE( ) = !0 i=1 f( i)E i : |
|
X |
|
lim |
При этом, если последовательность функций fk( ) стремится к f( ) равномерно на [a; b], то соответствующая последовательность интегралов сходится по норме.
103. Доказать теорему Коши "в большом": пусть R( ) аналитична в замкнутой ограниченной области G с кусочно гладкой границей @G. Тогда
R
@G R( )d = 0.
Указание. Разбить область G на достаточно мелкие части Gi и приме- нить к каждой из них теорему Коши "в малом".
104. Пусть спектр (A) (не обязательно самосопряженного) есть объеди- нение 1 [ 2 двух непересекающихся множеств, которые можно отделить кусочно гладкой жордановой кривой C. Доказать, что
1. оператор
Z
P = 1 R( )d 2 i C
является проектором, т.е., удовлетворяет соотношению P 2 = P ,
2.этот проектор приводит A, т.е., P A = AP ,
3.спектр оператора A, рассматриваемого на подпространстве Im P совпадает с 1, а на подпространстве Im (1 P ) - c 2.
Указание. Контур C по теореме Коши можно заменить большим контуром, не пересекающим C.
105. Найти непосредственным вычислением проекторы Коши для оператора, заданного матрицей
A = |
1 |
0 |
: |
|
0 |
2 |
|||
|
|
Как зависят проекторы от контура C?
158 |
Задачи |
106. То же для матрицы
01
A = @ |
1 |
1 |
0 |
A: |
0 |
|
0 |
||
0 |
01 |
2 |
107. Доказать формулу
eA = 1 Z ez(z A) 1dz;
2 i C
где A - ограниченный самосопряженный оператор, а C - простой замкнутый контур, охватывающий спектр A. Будет ли эта формула верна для несамосопряженных операторов?
Глава 7
108. Пусть en - ортонормированный базис в H, а e - вектор, не являющийся конечной линейной комбинацией векторов en. Пусть D множество конечных линейных комбинаций векторов en и e. Определим оператор формулой
!
N
X
A ce + cnen = ce:
n=1
Доказать, что замыкание (A) содержит как fe; eg, так и fe; 0g, и следовательно, не является графиком никакого оператора.
109.Доказать, что ограниченный оператор (с D(A) = H) замкнут.
110.Доказать, что оператор A замкнут тогда и только тогда, когда его область определения является замкнутым множеством в норме графика:
kxk2(A) = kxk2 + kAxk2:
111. Рассмотрим оператор
A : x(t) 7!x(t2)
â L2[0; 1] с областью определения D(A), состоящей из таких функций x(t) 2 L2[0; 1], для которых x(t2) также принадлежит L2[0; 1]. Доказать, что D(A) плотно в L2[0; 1], и найти D(A ) и A :
112. Пусть для данного оператора A существуют операторы A 1; A ; (A 1)
(все операторы в общем случае неограниченные). Доказать методом графика, что существует и (A ) 1, причем он совпадает с (A 1) .
113. Доказать следующий критерий самосопряженности : замкнутый симметрический оператор оператор A самосопряжен тогда и только тогда,
когда Im (A i) = H.
Указание: Доказать, что это условие эквивалентно условию Ker (A i)) = 0: