7.2. СИММЕТРИЧЕСКИЕ И САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 137

ãäå [a;x] - характеристическая функция отрезка [a; x]. Переходя к пределу, получим Z x

u(x) = ( [a;b](t); v(t)) + C = v(t)dt + C: (7.1.1)

a

Таким образом, пределами таких пар un; vn будут пары u; v, для которых v может быть любой функцией из L2[a; b], поскольку C[a; b] плотно в L2, а u является первообразной от v (определенным интегралом с переменным верхним пределом). Принадлежность u пространству L2 следует из (7.1.1), так как интегральный оператор ограничен из L2 â L2.

Определение 7.1.11 Функции u(x), которые являются первообразными интегрируемых функций v(x), называются абсолютно непрерывными.

Мы приходим к следующему выводу: замыкание оператора d=dx в L2[a; b] - это оператор дифференцирования, определенный на абсолютно непрерывных функциях, производная которых, определенная почти всюду принадлежит L2[a; b]:

Упражнение 7.1.12 Будет ли абсолютно непрерывной функция u, дифференцируемая почти всюду, производная которой u0 интегрируема на [a; b]? Разобрать пример "канторовой лестницы"

Последняя определяется так: u(0) = 0; u(1) = 1. На интервале первого ранга (1=3; 2=3) полагаем u(x) = 1=2. На интервалах второго ранга полагаем u(x) = 1=4 на (1=9; 2=9) и u(x) = 3=4 на интервале (7=9; 8=9), и т.д. Доказать, что u(x) определяется по непрерывности на всем отрезке [0; 1], но абсолютно непрерывной она не будет.

7.2Симметрические и самосопряженные операторы

Понятие самосопряженности, введенное ранее для ограниченных операторов, при переходе к неограниченным требует пересмотра.

Определение 7.2.1 Оператор A называется симметрическим (или эрмитовым), если для любых x; y 2 D(A) выполняется равенство

(Ax; y) = (x; Ay):

Заметим, что для ограниченных операторов это в точности определение самосопряженности. Для неограниченных операторов определение бу-

дет другим.

Определим сначала сопряженный оператор A .

Определение 7.2.2 Пусть для вектора y 2 H существует такой вектор z 2 H, что для любого x 2 D(A) выполняется равенство

138 ГЛАВА 7. НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Для таких y мы определяем оператор A , полагая z = A y, а множество всех таких y принимаем за область определения D(A ).

Отметим, что для ограниченного оператора A выражение f(x) = (Ax; y)

определяет ограниченный линейный функционал, который по лемме Рисса всегда допускает запись (x; z). Для неограниченных функционалов вектор

z существует не всегда.

Замечание 7.2.3 Вектор z определяется однозначно. Действительно, если бы существовало два таких вектора z1 è z2, то мы имели бы (x; z2 z1) = 0 для всех x из плотного множества D(A), откуда следует, что z1 = z2: Таким образом, условие плотности области определения D(A) обеспечивает существование сопряженного оператора.

Выясним, как связаны графики (A) и (A ). Равенство (7.2.1), опреде-

ляющее сопряженный оператор, можно переписать в терминах прямой суммы H H в виде (fAx; xg; fy; zg) = 0. Обозначим через U преобразование

пространства H H, состоящее в перестановке компонент и изменении знака у второй компоненты, т.е., Ufa; bg = fb; ag. Это линейное преобразование

взаимно однозначно и сохраняет скалярное произведение. Такие преобразования называются унитарными, они сохраняют метрику (являются изо-

метриями), и значит замкнутые множестве переводят в замкнутые. Определение (7.2.1) означает, что векторы fy; zg 2 (A ) и fAx; xg 2 U (A) орто-

гональны. Следовательно, (A ) - это ортогональное дополнение к U (A):

(A ) = (U (A))?: (7.2.2)

Это соотношение позволяет доказывать "графически"многие важные свойства неограниченных операторов и их сопряженных.

Теорема 7.2.4 Сопряженный оператор всегда замкнут. Если A замкнут (или замыкаем), то A плотно определен.

Доказательство. Ортогональное дополнение к любому множеству все-

гда является замкнутым подпространством в силу непрерывности скалярного произведения (лемма 3.3.7). Поэтому A замкнут в силу (7.2.2).

Докажем вторую часть. Пусть A - замкнут, тогда множество U (A) тоже замкнуто. Предположим, что D(A ) не плотно, тогда существует вектор h 2 H, ортогональный D(A ). Это значит, что вектор fh; 0g ортогонален (A ), и значит, принадлежит ортогональному дополнению (A ), которое в силу

(7.2.2) совпадает с замыканием U (A), т.е., с самим множеством U (A), поскольку оно замкнуто. Таким образом fh; 0g 2 U (A) или f0; hg 2 G(A). Но это означало бы, что A0 = h, что невозможно.

Из доказанной теоремы следует, что можно определить сопряженный оператор к A , так как последний имеет плотную область определения. Лег-

ко видеть, что при этом A = A. Действительно, (A ) = (U(U (A))?)?,

что совпадает с (A) в силу замкнутости последнего. Если же A не замкнут, но замыкаем, то A равен замыканию A.

Теперь мы можем дать определение самосопряженного оператора.

7.2. СИММЕТРИЧЕСКИЕ И САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 139

Определение 7.2.5 Оператор A называется самосопряженным, если он совпадает с A . Более подробно это означает, что

1.области определения D(A) и D(A ) совпадают,

2.оператор A симметрический.

Âобщем случае симметрический оператор не равен своему сопряженному, выполнено только включение A A .

Приведем пример, иллюстрирующий введенные понятия и соотношения между ними.

Пример 7.2.6 Рассмотрим подробнее оператор дифференцирования в L2[0; 1] (см. пример 7.1.10). Обозначим через A оператор id=dx c естествен-

ной областью определения D(A) состоящей из функций u(x), абсолютно непрерывных на [0; 1], производная которых u0(x) принадлежит L2[0; 1].

Найдем сопряженный оператор. Он определяется условием:

Z b

(Au; v) (u; w) = (iu0(x)v(x) u(x)w(x))dx = 0; (7.2.3)

a

которое должно выполняться для любых u 2 D(A) и искомых пар v и w = A v, которые априори принадлежат L2[a; b]. Пусть

Z x

F (x) = w(t)dt

a

- первообразная функции w(x). Интегрируя в (7.2.3) по частям, получим

Z b

u0(x)(iv(x) + F (x))dx u(x)F (x)jba = 0:

a

Рассмотрим это равенство сначала для функций, которые обращаются в 0 на концах. Тогда подстановка пределов дает 0, и мы получим

Z b

a

для любой абсолютно непрерывной функции u(x), такой что u(a) = u(b) = 0. Покажем, что отсюда вытекает, что функция

h(x) = iv(x) + F (x)

равна постоянной. Действительно, подстановка h(x) = c дает

Z b

u0cdx = c(u(b) u(a)) = 0:

a

Значит, равенство (7.2.4) можно переписать в виде

Z

где в качестве c возьмем Rab h(x)dx. Теперь, полагая в (7.2.5)

Z x

u(x) = (h(t) c)dt

a

и замечая, что u(a) = u(b) = 0, приходим к равенству

Z b

jh(x) cj2dx = 0;

a

откуда h(x) = c почти всюду. Это означает, что

Z x

v(x) = i w(t)dt + ic;

a

т.е., что v - абсолютно непрерывна, и w = iv0. Отсюда следует, что функ- ции v, принадлежащие области определения оператора A , должны быть абсолютно непрерывны, и при этом A v = iv0, другими словами, A A Чтобы точно описать область определения A , и, в частности, чтобы

убедиться, что она уже D(A), вернемся к равенству (7.2.3), подставив w =iv0. Мы получим

Z b

0 = i(u0v + uv)dx = i(uv)jba = i(u(b)v(b) u(a)v(a))):

a

Это выражение обращается в нуль для всех u 2 D(A), не обязательно равных 0 на концах, тогда и только тогда, когда v само удовлетворяет краевым условиям v(a) = v(b) = 0. Мы приходим к следующему результату: пусть A0 - сужение оператора A на область определения

D(A0) = D(A) \ fv : v(a) = v(b) = 0g:

Тогда A = A0 A.

Упражнение 7.2.7 Доказать, что A0 = A

В частности, отсюда следует, что A0 - симметричный оператор. Однако самосопряженным он не будет, так как A0 = A 6= A0, поскольку область

определения D(A) шире, чем D(A0).

Пример 7.2.8 Приведем пример самосопряженных расширений оператора A0. Для комплексного числа s, равного 1 по модулю, рассмотрим оператор As = id=dx на области определения

D(As) = D(A) \ fu(1) = su(0)g:

Ясно, что любой из операторов As является расширением A0. Проверим, ÷òî As самосопряжен. Для этого снова обратимся к (7.2.3), взяв сначала в качестве u функцию из D(A0) D(As). Как и в примере 7.2.6, мы получим,

7.2. СИММЕТРИЧЕСКИЕ И САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 141

÷òî w = iu0, ãäå u - абсолютно непрерывна. Снова пользуясь (7.2.3), как и в примере 7.2.6, приходим к условию

u(1)v(1) u(0)v(0) = u(0)(sv(1) v(0)) = 0:

Таким образом, нужно потребовать, чтобы v тоже удовлетворяло краевому

условию v(1) = sv(0), а это и значит, что D(As) = D(As). Можно показать, что других самосопряженных расширений нет.

Очень поучительно сравнить спектры операторов A; A0 è As. Äëÿ îïå- ратора A любое комплексное число является собственным значением с собственной функцией ei x. Таким образом, спектр A точечный и заполня-

ет всю комплексную плоскость, резольвентное множество пусто.

Для оператора A0 точечный спектр отсутствует, так как единственный кандидат в собственные функции y = ei x не может удовлетворять крае-

вым условиям y(1) = y(0) = 0. Следовательно, A0 - взаимно однозначное отображение. Но образ Im ( A0) не плотен в L2[0; 1]. Действительно, образ оператора A0 ортогонален собственной функции сопряженного операто-

ра (сравни третью теорему Фредгольма), а у сопряженного оператора A всегда есть собственная функция. Следовательно, любое принадлежит остаточному спектру оператора A0, а резольвентное множество пусто.

Рассмотрим теперь оператор As. Опять единственным кандидатом в соб- ственные функции является y = ei x, но она удовлетворяет краевому усло-

вию y(1) = sy(0) только при = arg s + 2 n. Следовательно, точечный спектр - это счетное множество действительных чисел, а остальные 2 C

принадлежат резольвентному множеству (доказать это).

В заключение этого раздела докажем методом графика важную и несколько неожиданную теорему.

Теорема 7.2.9 Пусть A - замкнутый плотно определенный оператор. Тогда операторы

B = (1 + A A) 1; C = A(1 + A A) 1

всюду определены, ограничены и

kBk 1; kCk 1:

Кроме того, B самосопряжен и положителен.

Эта теорема, очевидная, когда A - ограниченный оператор, в случае

неограниченного A совсем не очевидна. Неясно даже, какова область определения произведения A A.

Доказательство. Так как (A) и U (A ) являются ортогональными дополнениями друг друга в H H, то вектор fh; 0g можно единственным

образом представить в виде суммы двух векторов, принадлежащих этим ортогональным подпространствам:

имеет единственное решение x и y, принадлежащие соответственно D(A) и D(A ). Положив x = Bh и y = Ch, мы тем самым определим операторы

B и C. Эти операторы определены на всем H, и с их помощью указанную

Так как слагаемые в правой части (7.2.6) ортогональны, то

khk2 = kfh; 0gk2 = kfx; Axgk2 + kfA y; ygk2 = kxk2 + kAxk2 + kA yk2 + kyk2;

откуда вытекает, что

kBhk2 + kChk2 = kxk2 + kyk2 khk2;

и, следовательно,

kBk 1; kCk 1:

Далее, для любого вектора u 2 H

((1 + A A)u; u) = (u; u) + (Au; Au) (u; u);

так что, если (1+A A)u = 0, то u = 0. Следовательно, существует оператор (1 + A A) 1. Согласно (7.2.6) он определен всюду и равен B

B = (1 + A A) 1:

Оператор B самосопряжен и положителен. В самом деле,

(Bu; v) = (Bu; (1 + A A)Bv) = (Bu; Bv) + (Bu; A ABv) (Bu; Bv) + (A ABu; Bv) = ((1 + A A)Bu; Bv) = (u; Bv)

è

(Bu; u) = (Bu; (1 + A A)Bu) = (Bu; Bu) + (ABu; ABu) 0:

на этом доказательство заканчивается.

Из этой теоремы выводятся свойства спектра неограниченных самомопряженных операторов.

Теорема 7.2.10 1. Спектр самосопряженного оператора действителен.

7.2.СИММЕТРИЧЕСКИЕ И САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 143

2.Остаточный спектр пуст.

Доказательство. Пусть = + i ; 6= 0 - комплексное число. Найдем резольвенту R( + i ) и покажем, что она ограничена и всюду определена. Для этого нужно решить уравнение

((A ) i )x = f;

где f 2 H данный вектор. Применяя к обеим частям оператор (A ) = (A ) + i , приходим к уравнению

((A )2 + 2)x = ((A ) + i )f;

По предыдущей теореме оператор в левой части имеет ограниченный обратный, (отметим, что ((A ) = (A ), следовательно,

Так как по предыдущей теореме kBk 1; kCk 1, то для нормы резольвенты получаем оценку

kR( )k j=2 k;

откуда следует, что все 2 C; = 6= 0 принадлежат резольвентному мно-

жеству.

Пусть теперь 2 R принадлежит спектру, но не является собственным значением. Покажем, что образ Im ( A) плотен в H. Действительно, в противном случае существует вектор e ортогональный Im ( A), т.е., (( A)x; e) = 0 для любого x 2 D(A). По определению сопряженного оператора это означает, ( A) e = 0, значит e - собственный вектор оператора ( A) = A, вопреки предположению. Следовательно, остаточный спектр пуст.