2.3.2Множества меры 0.

Определение 2.3.3 Если m (A) = 0, то множество A называется множеством меры 0.

Отметим, что A заранее не предполагается измеримым.

Упражнение 2.3.4 Доказать, что множества меры 0 измеримы .

Таким образом, исходное определение эквивалентно тому, что A - измеримое множество и его мера (A) равна 0.

Отметим также еще одно простое, но важное свойство меры Лебега: ее полноту. Оно означает, что подмножество множества меры 0 само является множеством меры 0. Его справедливость для меры Лебега вытекает из монотонности верхней меры.

2.3.3Борелевские множества.

Здесь мы изучим немного подробнее структуру класса измеримых множеств. Для простоты мы ограничимся случаем плоскости R2, случай Rn

рассматривается аналогично. Клетку

будем называть клеткой ранга m. Ясно, что две различные клетки ранга m не пересекаются, а объединение всех клеток ранга m дает все R2.

Лемма 2.3.5 Открытое множество является объединением счетного множества непересекающихся клеток.

Доказательство. Пусть G - открытое множество, и пусть K1 - êëå- точное множество, состоящее из клеток ранга 1, содержащихся в G. Далее, введем клеточное множество K2, состоящее из клеток ранга 2, содержащихся в G, но не принадлежащих K1. Аналогично, K3 состоит из клеток ранга 3, содержащихся в G, но не принадлежащих K1; K2 и т.д. Пусть K - объединение всех Km. Мы утверждаем, что K совпадает с G. Действительно, пусть x0 2 G - произвольная точка. Она содержится в G вместе с некоторой "-окрестностью, так как G открыто. Поскольку диаметры клеток стремятся к 0 при m ! 1, то найдется клетка, содержащая x0 и целиком лежащая в "-окрестности. По построению такая клетка должна войти в одно из множеств Km, следовательно, x0 2 Km K.

Следствие 2.3.6 Открытое множество измеримо, его мера равна сумме мер составляющих его клеток. Замкнутое множество измеримо как дополнение к открытому.

найдется открытое множество G и замкнутое множество F , такие что

F A G è

(G n A) < "; (A n F ) < ":

Доказательство. Пусть сначала A - множество конечной меры. Так как(A) = m (A) то для любого " существует покрытие A счетной системой

клеток Pi, такое что

1

X

(A) + " > (Pi):

i=1

Можно считать, что Pi - открытые клетке (иначе их можно было бы заменить большими открытыми Pio Pi; òàê ÷òî

(Pio) (Pi) < 2"i :

Тогда объединение всех Pi будет искомым открытым множеством G. Дей-

ствительно,

1

X

(G) (Pi) < (A) + ";

i=1

откуда

(G n A) = (G) (A) < ":

Пусть теперь (A) = 1. Все пространство можно представить как объединение счетного множества клеток Pi, следовательно, A = [(A \ Pi): Множества A \ Pi имеют конечную меру, следовательно, по доказанному существуют открытые множества Gi A \ Pi, такие что

"

(Gi n (A \ Pi)) < 2i :

Полагая G = [1i=1 Gi; получим, что G A и

1

X

(G n A) (Gi n (A \ Pi)) ";

i=1

что и требовалось.

Чтобы найти замкнутое множество F , рассмотрим дополнение A. По доказанному найдется открытое множество G, содержащее A и такое, что

(G n A) < ":

Положим F = G. Тогда F замкнуто, F A и A nF = G nA. Следовательно,

(A n F ) < ":

Итак, класс измеримых множеств содержит все открытые и замкну-

тые множества (назовем их множествами первого поколения). Поскольку класс замкнут относительно операций дополнения и счетного объедине-

ния, то он содержит множества, полученные из множеств первого поколения с помощью этих операций (множества второго поколения). Продолжая этот процесс, мы будем получать третье, четвертое и т.д. поколения множеств, которые получаются из предыдущих поколений операциями счетного объединения и дополнения. Все они в совокупности дают некоторый класс множеств B, называемых борелевскими. Он обладает следующими

свойствами:

1.Если A 2 B; то и A 2 B (замкнутость относительно операции дополнения).

2.Åñëè Ai 2 B; i = 1; 2; : : : ; òî è [1i=1 Ai 2 B (замкнутость относительно счетных объединений).

3.Открытые и замкнутые множества принадлежат B.

4.B - минимальная совокупность множеств со свойствами 1 - 3.

Мы видим, что класс измеримых множеств обязательно содержит класс борелевских множеств.

В заключение дадим некоторые общие определения из теории меры, главным образом, чтобы фиксировать терминологию.

Пусть X - некоторое множество, и пусть S - совокупность его подмножеств со следующими свойствами:

1.X 2 S:

2.Åñëè A 2 S, òî è Ai = X n A 2 S:

3.Åñëè Ai 2 S, òî è [1i=1 Ai 2 S:

Такой класс называется -алгеброй множеств в X.

Функция , определенная на множествах из S, принимающая неотрицательные значения или +1, называется мерой, если она обладает свойством счетной аддитивности ( -аддитивности), т.е., для любой счетной совокупности множеств Ai 2 S, попарно непересекающихся, выполнено равенство

Тройка (X; S; ) называется пространством с мерой. Множество A 2 S называется множеством меры 0, если (A) = 0. Мера называется полной,

если любое подмножество множества меры 0 само является множеством меры 0. Мера называется -конечной, если все множество X представляется

в виде счетного объединения непересекающихся множеств Xi; i = 1; 2; : : :

конечной меры.