3.3.2Ортогональные системы и ряды Фурье.

Последовательность элементов ek; k = 1; 2; : : : называется (счетной) ортогональной системой, если (ek; en) = 0 при k 6= n, и ортонормированной, если, кроме того, kekk = 1 для любого k. Ясно, что векторы ek=kekk - единичные, поэтому любую ортогональную систему можно превратить в ортонормированную, поделив каждый элемент на его норму. В дальнейшем мы считаем, что ek - ортонормированная система.

Предположим, что элемент x можно представить в виде сходящегося

X

ãäå ck - некоторые коэффициенты. Тогда, умножив обе части скалярно на ek и пользуясь непрерывностью скалярного произведения и ортогональностью векторов ek, получим

1

X

(ek; x) = cn(ek; en) = ck:

n=1

Коэффициент ck = (ek; x) называется коэффициентом Фурье, а ряд (3.3.4) - рядом Фурье элемента x по ортонормированной системе ek (независимо от того, является ли ряд сходящимся и сходится ли он к x).

Пусть теперь k - произвольные коэффициенты. Вычислим норму разности

Мы воспользовались ортонормированностью системы и определением коэффициентов Фурье. С другой стороны,

jck kj2 = (ck k)(ck k) = jckj2 + j kj2 kck ck k:

Следовательно,

Отсюда видно, что минимум нормы разности достигается при k = ck (ìè- нимальное свойство коэффициентов Фурье ), и этот минимум равен

n

X

kxk2 jckj2 0:

k=1

62 ГЛАВА 3. БАНАХОВЫ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Переходя к пределу при n ! 1, получаем неравенство Бесселя

1

X

k=1

Из этого неравенства следует, в частности, что ряд из квадратов модулей коэффициентов Фурье всегда сходится. Отсюда в свою очередь следует, что последовательность частичных сумм ряда Фурье фундаментальна, так как

XX

при m; n ! 1: Таким образом, в силу полноты пространства H ряд Фурье любого элемента x 2 H сходится. Чтобы выяснить, будет ли его сумма совпадать с x, введем понятие полноты системы (не путать с полнотой пространства).

Определение 3.3.9 Система ek называется полной, если линейные комбинации векторов ek плотны в H, т.е., 8x и 8" > 0 существуют такие коэффициенты k; k = 1; 2; : : : ; n, ÷òî

Теорема 3.3.10 Ряд Фурье любого элемента x по полной ортонормированной системе сходится к x. При этом имеет место равенство Пар-

Доказательство. Свойство полноты системы означает, что любой элемент x можно аппроксимировать конечной линейной комбинацией с точ-

ностью до данного " > 0 (неравенство (3.3.6). Из минимального свойства

коэффициентов Фурье следует тогда, что отрезок ряда Фурье дает лучшую аппроксимацию, т.е.,

nn

XX

а это и означает, что ряд Фурье сходится к x. Умножая скалярно на x равенство

1

X

x = ckek;

k=1

и пользуясь непрерывностью скалярного произведения, приходим к равенству Парсеваля (теорема Пифагора в бесконечномерном случае).

Следствие 3.3.11 Система ek; k = 1; 2; : : : полна тогда и только тогда, когда ортогональное дополнение к множеству fekg состоит только из нулевого элемента.

Доказательство. Если система полна и (x; ek) = 0 для любого k, то

нуля. Следовательно, x равен сумме своего ряда Фурье, а тогда отрезки ряда Фурье аппроксимируют x с любой точностью.

Резюмируя, можно сказать, что полная ортогональная система является базисом, т.е., как и в конечномерном пространстве, любой вектор x допус-

кает единственное разложение по этому базису, задаваемое рядом Фурье. Ортонормированные системы можно строить, исходя из произвольных

систем векторов fk; k = 1; 2; : : : с помощью так называемого процесса ортогонализации Грама-Шмидта. В качестве вектора e1 берем f1=kf1k. Далее из векторов f1; f2; : : : берем первый, линейно независимый с e1. Пусть это будет f2. Тогда полагаем

f2 c1e1 e2 = kf2 c1e1k;

ãäå c1 - коэффициент Фурье вектора f2 ïî e1.

Предполагая, что векторы e1; e2; : : : ; en уже построены, берем первый из векторов f1; f2; : : :, линейно независимый с e1; e2; : : : ; en. Пусть это будет fn+1. Тогда положим

ãäå ck - коэффициенты Фурье fn+1 ïî e1; e2; : : : ; en. В результате такого построения получаем ортонормированную систему, которая дает базис в подпространстве, натянутом на f1; f2; : : :, т.е., в замыкании множества конечных линейных комбинаций векторов f1; f2; : : :.

В качестве применения этого процесса докажем следующее предложение.

Предложение 3.3.12 В сепарабельном гильбертовом пространстве существует конечный или счетный ортонормированный базис.

Доказательство. В сепарабельном пространстве H имеется счетное

плотное множество. Подвергнув его ортогонализации, получим полную счетную (или конечную) ортогональную систему, т.е., базис.

Следствие 3.3.13 Любое бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство H изоморфно и изометрично пространству l2.

64 ГЛАВА 3. БАНАХОВЫ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Доказательство. Выбрав в H ортонормированный базис, мы можем отождествить векторы H с последовательностями коэффициентов Фурье.

В силу равенства Парсеваля это соответствие - изометрическое (т.е., сохраняет нормы). Изоморфизм (т.е. сохранение линейных операций) очевиден.

В заключение приведем пример несепарабельного гильбертова пространства с несчетной ортогональной системой. Элементами являются функции x(t); t 2 R, которые отличны от нуля только в точках счетного подмноже-

ства R (своего для каждой функции). Скалярное произведение двух таких функций x(t) и y(t) задается по формуле

X

(x(t); y(t)) = x(t)y(t);

t

где суммирование производится по счетному множеству t, для которых от-

личны от 0 обе функции. Линейные операции определяются поточечно, при этом сумма x(t) + y(t) отлична от 0 снова на счетном множестве точек.

Пространство H состоит из функций с конечной нормой

X kx(t)k2 = (x(t); x(t)) = jx(t)j2:

t

Пусть e (t) - функция, равная 0 при t 6= , и равная 1 при t = : Тогда ÿñíî, ÷òî (e 1 (t); e 2 (t)) = 0 ïðè 1 6= 2. Таким образом, мы имеем континуум попарно ортогональных функций, следовательно, H не может быть

сепарабельным.