50 ГЛАВА 3. БАНАХОВЫ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА

3.2Примеры

3.2.1Конечномерные пространства

Простейший пример - это конечномерное линейное пространство. Выбрав базис, будем задавать векторы координатами

x= fx1; x2; : : : ; xng;

àв качестве нормы возьмем, например,

n!1=2

X

Отметим, что любое конечномерное пространство сепарабельно. В каче- стве плотного счетного подмножества можно взять векторы с рациональными координатами.

3.2.2Пространства последовательностей

Далее мы будем рассматривать банаховы пространства, элементами которых являются бесконечные последовательности

x = fx1; x2; : : :g;

ãäå xk - действительные (или комплексные) числа. Линейные операции вводятся почленно, как и в конечномерном случае, но нормы, в отличие от конечномерного случая, можно ввести многими неэквивалентными способами.

1. Пространство ограниченных последовательностей m. Норму определим по формуле

kxk = sup jxkj:

k2N

Аксиомы нормы легко проверяются.

Докажем полноту этого пространства. Мы будем рассматривать последовательности как функции x = x(k); k 2 N на множестве натуральных

чисел, тогда сходимость по норме m - это равномерная сходимость функциональной последовательности xn = xn(k). Фундаментальная последова-

тельность - это последовательность, удовлетворяющая критерию Коши рав-

номерной сходимости, поэтому она сходится равномерно к некоторой ограниченной последовательности x0(k) = limn!1 xn(k) 2 m:

Упражнение 3.2.1 Провести подробно это рассуждение.

Предложение 3.2.2 Пространство m несепарабельно.

Доказательство. Рассмотрим подмножество Z 2 m, состоящее из функций z = z(k) принимающих только два значения 0 и 1. Каждая такая функция взаимно однозначно определяет подмножество в N, на котором она равна 1. Следовательно, мощность множества Z равна мощности мно-

жества подмножеств натуральных чисел, последнее, как известно, несчетно. Заметим также, что если две функции z1(k); z2(k) 2 Z не совпадают тождественно, то расстояние между ними равно 1. Таким образом, в пространстве m существует несчетное множество Z, элементы которого находятся

на расстоянии 1 друг от друга.

Предположим теперь что m сепарабельно, т.е., существует счетное плотное подмножество Y m. Тогда любую функцию можно приблизить с заданной точностью " функцией из Y . Для любой функции z(k) 2 Z выберем функцию yz(k) 2 Y , òàê ÷òî kyz zk < " < 1=2. Åñëè z1 è z2 не совпадают, то

и соответствующие функции yz1 è yz2 не могут совпадать. Действительно, из неравенства треугольника следует

kyz1 yz2 k kz1 z2k kyz1 z1k kyz2 z2k 1 2" > 0:

Мы имеем тем самым взаимно однозначное соответствие z 7!yz между множеством Z и некоторым подмножеством Y . Тогда мощность Y должна быть больше мощности Z, что невозможно, так как Y - счетное множество, а Z - несчетное.

2. Пространство сходящихся последовательностей с

Элементы - это опять функции x = x(k); k 2 N на множестве на-

туральных чисел, но с дополнительным условием, что существует предел x(k). Линейные операции определяются почленно, как и в

m, а норма по-прежнему равна sup jx(k)j. Другими словами, c - это линейное подмножество m. Мы докажем, что c - это подпространство, т.е., что c замкнуто в m. Итак, пусть последовательность функций xn = xn(k) 2 c сходится в пространстве m к некоторой функции x0(k), ò.å.,

lim xn(k) = x0(k)

n!1

равномерно по k 2 N. Воспользуемся теоремой о переходе к пределу в равномерно сходящейся последовательности: если все функции xn(k) имеют предел xn(1) при k ! 1 и последовательность равномерно сходится, то

и предельная функция x0(k) также имеет предел x0(1) = limk!1 x0(k), и этот предел совпадает с limn!1 xn(1). Это означает, что предельная функция x0(k), которая априори принадлежит m на самом деле будет элементом

c. Таким образом, c - это подпространство m, и значит, само является ба-

наховым пространством.

В отличие от m c сепарабельно. Счетное плотное множество образуют функции x(k), принимающие только рациональные значения и стабилизи- рующиеся при k больших некоторого k0 (своего для каждой функции), т.е.,

x(k0) = x(k0 + 1) = x(k0 + 2) = : : : :

Это и есть неравенство Г¼льдера для сумм. Предельным переходом неравенство обобщается и на бесконечные суммы, причем из существования предела в правой части (3.2.4) следует существование предела в левой части.

Аналогично получается и неравенство Г¼льдера для интегралов.

Интегрируя, получим в правой части 1, как и в случае сумм, откуда и следует интегральное неравенство Г¼льдера (3.2.5). Заметим, что существование интеграла в правой части влечет существование интеграла в левой части.

Установим теперь неравенство Минковского для сумм и интегралов

Мы воспользовались неравенством Г¼льдера. Вынося общий множитель и заменяя (p 1)q на p, получим справа

Пространство lp сепарабельно. В качестве счетного плотного множества можно взять последовательности рациональных чисел, равных 0 с некоторого номера.

Водится также обозначение l1 для пространства m ограниченных последовательностей. Оправданием для такого обозначения может служить равенство

r!1=p

справедливое для конечных сумм. Более серьезный аргумент приводится в следующем упражнении.

Упражнение 3.2.5 Доказать непосредственно, что неравенство Г¼льдера верно и для последовательностей x = fxkg 2 l1 è y = fykg 2 l1,

Теперь мы рассмотрим банаховы пространства измеримых функций Lp = Lp( ); p 1. Пространство Lp состоит из функций f(x), измеримых на измеримом множестве Rn, для которых p-я степень интегрируема (по

Лебегу). Множество может быть как ограниченным, так и неограниченным. Норма вводится по формуле

Z 1=p

kfk = kfkp = jf(x)jpd (3.2.8)

При p = 1 получаем уже знакомое нам пространство Лебега L (см. раздел 2.5.2). Как и для пространства L, функции совпадающие почти всюду отож-

дествляются, иначе норма (3.2.8) не будет положительно определенной: из равенства нулю интеграла (3.2.8) следует только что f(x) = 0 п.в. Осталь-

ные свойства нормы легко проверяются, причем неравенство треугольника - это неравенство Минковского для интегралов.

Полнота пространства Lp доказывается по той же схеме, что и для пространства L (см. 2.5.3).

Упражнение 3.2.6 Доказать полноту пространства Lp.

Êàê è lp, пространства Lp сепарабельны. Доказательство проводится в два шага. Сначала доказываем, что в Lp плотны непрерывные функции, равные нулю вне ограниченного множества. Это делается, как и в разделе 2.5.4 для пространства L. На втором шаге непрерывную функцию на

ограниченном множестве равномерно аппроксимируем многочленом с рациональными коэффициентами (по теореме Вейерштрасса). Поскольку множество ограниченно, то она же будет и аппроксимацией в Lp.

Упражнение 3.2.7 Доказать аккуратно сепарабельность Lp.