- •Введение
- •Полнота
- •Метрические пространства
- •Полные метрические пространства
- •Сжимающие отображения
- •Пополнение
- •Интеграл Лебега
- •Почему не все множества измеримы?
- •Верхняя мера Лебега
- •Свойства верхней меры.
- •Измеримые множества
- •Свойства измеримых множеств
- •Множества меры 0.
- •Борелевские множества.
- •Измеримые функции и интеграл
- •Свойства измеримых функций
- •Интеграл и его свойства
- •Приложения
- •Предельный переход
- •Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •Полнота пространства L
- •Плотность непрерывных функций
- •Теорема Фубини
- •Банаховы и гильбертовы пространства
- •Основные определения
- •Примеры
- •Конечномерные пространства
- •Пространства последовательностей
- •Гильбертово пространство
- •Основные понятия
- •Ортогональные системы и ряды Фурье.
- •Линейные функционалы и операторы
- •Определения и примеры
- •Теорема Хана - Банаха
- •Сопряженное пространство
- •Функционалы в гильбертовом пространстве
- •Рефлексивность
- •Сопряженные и самосопряженные операторы
- •Определения и примеры
- •Операторы в гильбертовом пространстве
- •Самосопряженные операторы
- •Виды сходимости
- •Компактные операторы
- •Компактные множества и операторы
- •Теория Фредгольма
- •Конечномерный случай
- •Теоремы Фредгольма
- •Спектр
- •Теория Гильберта - Шмидта
- •Интегральные операторы
- •Задача Штурма - Лиувилля
- •Спектральная теория
- •Резольвента и спектр
- •Ортогональные проекторы
- •Спектральная теорема
- •Доказательство спектральной теоремы
- •Формула Стоуна
- •Неограниченные операторы
- •Основные определения
- •Симметрические и самосопряженные операторы
- •О спектральной теореме
- •Задачи
- •Контрольные вопросы
Функциональный анализ
Методическое пособие для самостоятельной работы студентов
Б. В. Федосов
2
Оглавление
Введение |
5 |
|
1 Полнота |
7 |
|
1.1 |
Метрические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
7 |
1.2 |
Полные метрические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . |
9 |
1.3 |
Сжимающие отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
9 |
1.4 |
Пополнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
13 |
2 Интеграл Лебега |
17 |
||
2.1 |
Почему не все множества измеримы? . . . . . . . . . . . . . . . |
17 |
|
2.2 |
Верхняя мера Лебега . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
19 |
|
|
2.2.1 |
Свойства верхней меры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
20 |
2.3 |
Измеримые множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
21 |
|
|
2.3.1 |
Свойства измеримых множеств . . . . . . . . . . . . . . |
22 |
2.3.2Множества меры 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.3Борелевские множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 |
Измеримые функции и интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . |
28 |
|
|
2.4.1 |
Свойства измеримых функций . . . . . . . . . . . . . . |
30 |
|
2.4.2 Интеграл и его свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
33 |
|
2.5 |
Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
37 |
|
|
2.5.1 |
Предельный переход . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
37 |
|
2.5.2 Сравнение интегралов Римана и Лебега . . . . . . . . . |
41 |
|
|
2.5.3 |
Полнота пространства L . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
43 |
|
2.5.4 |
Плотность непрерывных функций . . . . . . . . . . . . |
45 |
|
2.5.5 |
Теорема Фубини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
46 |
3 Банаховы и гильбертовы пространства |
47 |
||
3.1 |
Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
47 |
|
3.2 |
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
50 |
|
|
3.2.1 |
Конечномерные пространства . . . . . . . . . . . . . . . |
50 |
|
3.2.2 |
Пространства последовательностей . . . . . . . . . . . . |
50 |
|
3.2.3 Неравенства Г¼льдера и Минковского . . . . . . . . . . |
52 |
|
|
3.2.4 |
Пространства lp è Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
54 |
3.3 |
Гильбертово пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
56 |
|
3
4 |
ОГЛАВЛЕНИЕ |
3.3.1 Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . 56 |
3.3.2Ортогональные системы и ряды Фурье. . . . . . . . . . 61
4 Линейные функционалы и операторы |
65 |
||
4.1 |
Определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
65 |
|
4.2 |
Теорема Хана - Банаха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
68 |
|
4.3 |
Сопряженное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
72 |
|
|
4.3.1 Функционалы в гильбертовом пространстве . . . . . . . |
73 |
|
|
4.3.2 |
Рефлексивность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
75 |
4.4 |
Сопряженные и самосопряженные операторы . . . . . . . . . . |
78 |
|
|
4.4.1 |
Определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
78 |
|
4.4.2 Операторы в гильбертовом пространстве . . . . . . . . |
81 |
|
|
4.4.3 |
Самосопряженные операторы . . . . . . . . . . . . . . . |
83 |
|
4.4.4 |
Виды сходимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
85 |
5 Компактные операторы |
87 |
||
5.1 |
Компактные множества и операторы . . . . . . . . . . . . . . . |
87 |
|
5.2 |
Теория Фредгольма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
90 |
|
|
5.2.1 |
Конечномерный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
91 |
|
5.2.2 |
Теоремы Фредгольма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
93 |
|
5.2.3 |
Спектр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
96 |
5.3 |
Теория Гильберта - Шмидта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
99 |
|
|
5.3.1 |
Интегральные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . |
103 |
5.4 |
Задача Штурма - Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
105 |
|
6 Спектральная теория |
111 |
|
6.1 |
Резольвента и спектр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
111 |
6.2 |
Ортогональные проекторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
116 |
6.3 |
Спектральная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
119 |
6.4 |
Доказательство спектральной теоремы . . . . . . . . . . . . . . |
123 |
6.5 |
Формула Стоуна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
128 |
7 Неограниченные операторы |
133 |
|
7.1 |
Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
133 |
7.2 |
Симметрические и самосопряженные операторы . . . . . . . . |
137 |
7.3 |
О спектральной теореме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
144 |
Задачи |
|
149 |
Контрольные вопросы |
159 |
|
Введение
Как можно судить по названию, функциональный анализ изучает пространства функций и операции в них. При этом сами функции выступают как элементарные объекты: нечто в роде точек или векторов в абстрактных пространствах, как правило, бесконечномерных. Результаты, полученные на таком пути, кажутся на первый взгляд слишком абстрактными. чтобы быть полезными в конкретных задачах. Оказывается, однако, что это не так: они находят интересные и важные применения. Дело здесь, конечно, в том, что абстрактные конструкции функционального анализа возникли не на голом месте, а как результат обобщения огромного множества конкретных задач.
Место и роль функционального анализа в современной математической науке и образовании определяются, на наш взгляд, следующими причинами.
1.Функциональный анализ изучает наиболее общие математические закономерности, и его результаты также являются весьма общими. Их применения в различных конкретных задачах на первый взгляд могут казаться никак не связанными между собой, а на самом деле являются частными случаями одной и той же общей теоремы.
2.Функциональный анализ - это и удобный язык современной математики. Напомним, что бурный расцвет алгебры стал возможен только после того, как был изобретен язык алгебраических формул. Таким же образом введение языка функционального анализа способствовало дальнейшему развитию всех областей математики.
3.Функциональный анализ служит математическим фундаментом многих областей естествознания. Так, квантовая механика базируется на теории операторов в гильбертовом пространстве, особенно на спектральной теории. Теория вероятностей основана на абстрактной теории меры и интегрирования.
Становление и развитие функционального анализа связано с именами выдающихся ученых: А. Лебега, И. Фредгольма, Д. Гильберта, Г. Вейля, Дж. фон Неймана, С. Банаха, И.М. Гельфанда. Этот список можно значи- тельно увеличить.
В настоящее время функциональный анализ представляет собой обширную и разветвленную область математики, так что отбор материала для курса лекций по этому предмету представляет собой серьезную задачу. Наш
5
6 |
Введение |
курс будет концентрироваться вокруг следующих основных сюжетов:
1.полнота и связанные с ней вопросы,
2.интеграл Лебега, пространства Лебега,
3.компактные операторы, теория Фредгольма и Гильберта - Шмидта,
4.спектральная теория.
То, что мы перечислили, можно назвать классическими темами функционального анализа. За кадром остаются нелинейный функциональный анализ, теория обобщенных функций, вопросы вычислительной математики и многое другое.
Мы решили начать с теоремы о неподвижной точке для сжимающих отображений. Помимо того, что она представляет самостоятельный интерес как простой, но достаточно эффективный результат, она прекрасно иллюстрирует как работают методы функционального анализа. С другой стороны, она помогает быстрее войти в круг вопросов, связанных с полнотой, поскольку понятие полноты играет в ней ключевую роль.