Линейные функционалы и операторы

66 ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ И ОПЕРАТОРЫ

Таким образом, оператор A : E1 ! E2 - это линейная функция на E1 ñî значениями в E2, а функционал - это числовая линейная функция.

Предложение 4.1.2 Отображение A : E1 ! E2, задаваемое линей- ным ограниченным оператором, непрерывно.

Доказательство. Докажем непрерывность в произвольной точке x0 2 E1. Имеем

kAx Ax0k = kA(x x0)k Ckx x0k;

òàê ÷òî, åñëè x ! x0, òî Ax ! Ax0.

Обратно, если линейное отображение A : E1 ! E2 непрерывно при x0 = 0, то оно определяет ограниченный линейный оператор. Действительно,

предполагая противное, получим, что существует последовательность xn, такая что kxnk = 1 и в то же время kAxnk ! 1. Тогда последовательность yn = xn=kAxnk стремится к 0, и в то же время kAynk = kAxnk=kAxnk = 1 к нулю не стремится, что противоречит непрерывности в точке x0.

Таким образом, ограниченность и непрерывность линейного оператора - это тождественные понятия. В этой главе мы рассматриваем только такие операторы, и будем называть их просто "оператор опуская прилагательные "линейный"и "ограниченный"("непрерывный").

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 4.1.3 В пространстве Lp( ); 1 < p < 1 рассмотрим функционал Z

hf; x(t)i = '(t)x(t)d ;

ãäå '(t) 2 Lq; q + p = qp. Линейность очевидна, а ограниченность следует из неравенства Г¼льдера

откуда kfk k'kq. Покажем, что на самом деле имеет место равенство. Для этого рассмотрим функцию x(t), равную j'(t)jq 2'(t) при ' 6= 0 и равную

нулю при ' = 0. Тогда

Z Z Z

kx(t)kpp = (j'(t)jq 2j'(t)j)pd = j'(t)j(q 1)pd = j'(t)jqd = k'kqq:

Ïðè ýòîì

Z Z

hf; x(t)i = '(t)j'(t)jq 2'(t)d = j'(t)jqd = k'kqq:

Íî

k'kqq = kxkpp = kxkpp 1kxkp

4.2Теорема Хана - Банаха

Эта теорема имеет действительную и комплексную версии, которые приходится рассматривать отдельно. Начнем с действительного случая.

Теорема 4.2.1 Пусть E0 E - подпространство действительного банахова пространства E, и пусть f - функционал, заданный на E0. Тогда f можно продолжить на все E с сохранением нормы.

Другими словами, существует функционал fe, заданный на всем E, такой

что сужение fe íà E0 совпадает с f, и при этом kfekE = kfkE0 :

Основным шагом в доказательстве является следующая конструкция "элементарного продолжения". Пусть X E - подпространство, и y - век-

тор, не принадлежащий X. Рассмотрим подпространство Xe, натянутое на X и вектор y. Оно состоит из векторов вида

xe = x + ty;

где x 2 X и t 2 R. Ясно, что такое представление единственно.

Лемма 4.2.2 Функционал f, заданный на X, можно продолжить до

функционала fe на подпространстве Xe, òàê ÷òî

kfekXe = kfkX:

Доказательство. Предполагая, что искомое продолжение уже построено, запишем

fe(xe) = fe(x + ty) = f(x) + tfe(y);

откуда видно, что fe однозначно определяется, если задать число fe(y). Äà-

лее, поскольку kfek совпадает с kfk, то

jf(x) + tfe(y)j kfkkx + tyk:

При t = 0 неравенство, очевидно, выполнено, а при t 6= 0, получим, поделив на jtj

Таким образом, число a = fe(y) удовлетворяет неравенствам (4.2.1) при всех x 2 X и всех t 6= 0. Обратно, если существует такое a, которое удовлетворяет неравенствам (4.2.1) при всех x; t, то продолжение

fe(x + ty) = f(x) + ta

тогда в качестве a можно взять любое число между границами (4.2.2). Для этого рассмотрим

f(x2) f(x1) = f(x2 x1) kfkkx2 x1k

= kfkk(x2 + y) (x1 + y)k kfkkx2 + yk + kfkkx1 + yk;

откуда

f(x1) kfkkx1 + yk f(x2) + kfkkx2 = yk;

ãäå x1; x2 - любые элементы X. Беря супремум левой части по x1, а затем инфимум правой части по x2, приходим к (4.2.2)

Дальнейшие рассуждения состоят в индуктивном построении расширений функционала f на все большие подпространства, в конце концов исчер-

пывающие все пространство E. Мы приведем эти рассуждения только для сепарабельного пространства E.

Итак, пусть y1; y2; : : : - счетное плотное подмножество E, и f - функ- ционал на пространстве E0. Применяя лемму, продолжим функционал на подпространство E1 - линейную оболочку E0 и вектора y1, затем на под-

пространство E2 - линейную оболочку E1 и вектора y2, и т.д. В результате получим продолжение feна плотное линейное множество Ee = [1k=0 Ek E, ïðè ýòîì

jfe(xe)j kfkkxek:

Следовательно, feограничен, а значит, и непрерывен на Ee, а тогда его можно

продолжить на замыкание Ee (которое и есть все E) по непрерывности.

Именно, если xen 2 Ee, последовательность, сходящаяся к x 2 E, то мы

полагаем

fe(xe) = lim fe(xen);

x!1

при этом предел существует, так как fe(xen) - фундаментальная последова-

тельность действительных чисел.

Рассмотрим теперь комплексный вариант теоремы Хана - Банаха. Для этого предварительно установим некоторые соотношения между действительными и комплексными банаховыми пространствами.

Пусть E - комплексное банахово пространство, т.е., его элементы можно умножать на комплексные числа, в частности, на мнимую единицу i. Мы

можем ограничиться умножением только на действительные числа, тем самым E превращается в действительное банахово пространство, которое бу-

дем обозначать Er и называть реалификацией комплексного пространства

E.

ãäå f1; f2- действительные функционалы на Er. Тогда

f(ix) = f1(ix) + if2(ix);

а с другой стороны в силу комплексной линейности f это выражение равно

if(x) = if1(x) f2(x):

Сравнивая, получаем

f2(ix) = f1(x):

Таким образом, комплексно линейный функционал однозначно восстанавливается по свой действительной части

jf1(x)j f12(x) + f22(x) jf(x)j;

откуда следует, что kf1k kfk:. Покажем, что на самом деле имеет место знак равенства. Для этого подставим в (4.2.3) вместо x вектор x, где 2 C.

Тогда

f( x) = f1( x) + if2( x):

С другой стороны, пользуясь комплексной линейностью f, получим

f( x) = f(x) = (f1(x) + if2(x)):

Отсюда следует, что для данного вектора x 2 E всегда можно подобрать2 C с j j = 1, так чтобы =f( x) = f2( x) обращалось в 0. Для этого достаточно положить

f2(x) if1(x)

= p : f12(x) + f22(x)

Так как j j = 1, то в силу комплексной линейности получим

jf(x)j = j jjf(x)j = jf( x)j = jf1( x)j kf1kk xk = kf1kkxk;

откуда следует, что kfk kf1k, а значит, и kfk = kf1k.

Обратно, для любого действительного функционала f1(x) íà Er ôîð- мула (4.2.4) определяет комплексный функционал f(x) на E, для которого

f1 будет действительной частью. В проверке нуждается только свойство комплексной линейности при умножении на мнимую единицу. Но из (4.2.4) имеем

f(ix) = f1(ix) if1( x) = f1(ix) + if1(x) = i(f1(x) if1(ix)) = if(x):

Перейдем теперь к теореме Хана - Банаха.

Доказательство. Пусть f1 - действительная часть функционала f. По теореме 4.2.1 f1 продолжается до действительного функционала fe1 íà Er, причем норма fe1 íà Er совпадает с нормой f1 íà (E0)r, последняя же по доказанному выше равна kfk на E0.

По формуле (4.2.4) построим комплексный функционал на E fe(x) = fe1(x) ife1(ix):

При этом нормы у fe è fe1 совпадают. Значит,

kfek = kfe1k = kf1k = kfk:

Остается только заметить, что на E0 функционалы f è fe совпадают, так как соответствие (4.2.4) взаимно однозначно.

Теорема Хана - Банаха имеет многочисленные следствия. Приведем некоторые из них.

Следствие 4.2.4 Пусть x0 6= 0 - вектор банахова пространства E. Тогда существует функционал на E с нормой, равной 1, и такой, что f(x0) = kxk.

Доказательство. Рассмотрим одномерное подпространство ftxg, где t - произвольный скаляр. Определим функционал f на этом подпространстве, полагая f(tx) = tkxk, и продолжим его на все пространство по теореме Хана - Банаха.

Следствие 4.2.5 Пусть L - подпространство E, и x0 62L. Пусть

d = inf kx x0k

x2L

- расстояние от x0 до L. Тогда существует функционал с нормой, равной 1, равный нулю на L, и такой, что f(x0) = d.

Доказательство. Пусть l1 - подпространство, натянутое на L и x0, ò.å., множество векторов вида x = y +tx0, где y 2 L, а t - скалярный множитель, причем такое представление единственно. Определим на L1 функционал, полагая

f(y + tx0) = td: