Неограниченные операторы

Графиком оператора A называется линейное множество (A) H H, состоящее из пар fx; Axg, где x 2 D(A). Подчеркнем, что (A) не обязательно является подпространством в H H, так как оно может быть незамкнутым множеством. Оператор A называется замкнутым, если его график - замкнутое множество, и следовательно, подпространство в H H. Более формальное определение выглядит так.

Определение 7.1.2 Оператор A называется замкнутым, если для любой последовательности xn 2 D(A), для которой существуют пределы x = limn!1 xn è y = limn!1 Axn; вектор x принадлежит D(A) и Ax = y.

Определение 7.1.3 Оператор A2 называется расширением A1, åñëè(A1) (A2). Другими словами, D(A1) D(A2), и на общей области определения D(A1) они совпадают.

На первый взгляд кажется, что любой оператор можно расширить до замкнутого. Для этого достаточно взять (A) - замыкание графика (A),

тогда оператор с графиком (A) и будет искомым замкнутым оператором.

Ошибка в этом рассуждении состоит в том, что оператора с графиком (A)

может и не быть: может оказаться так, что в замыкании появятся точки вида fx; y1g è fx; y2g.

Упражнение 7.1.4 Пусть en - ортонормированный базис в H, а e - вектор, не являющийся конечной линейной комбинацией векторов en. Пусть D множество конечных линейных комбинаций векторов en и e. Определим оператор формулой

Доказать, что замыкание (A) содержит как fe; eg, так и fe; 0g, и следовательно, не является графиком никакого оператора.

Говорят, что A допускает замыкание или замыкаем, если его можно расширить до замкнутого.

Упражнение 7.1.5 Доказать, что ограниченный оператор (с D(A) = H) замкнут.

Обратное, вообще говоря, неверно: замкнутый оператор не обязательно ограничен. Тем более удивительной кажется следующая "теорема о замкнутом графике"

Теорема 7.1.6 (Банах) Замкнутый оператор, определенный на всем пространстве H, ограничен.

Доказательство мы не приводим, так как на наш взгляд оно довольно сложно и мало поучительно. Мы также будем стараться по возможности не пользоваться этой теоремой. Заметим, однако, что она дает понятное объяснение тому факту, что неограниченные операторы определены не на всем пространстве.

Пример 7.1.7 Пусть H = L2( 1; 1), и A оператор умножения на x. Его область определения состоит из функций y(x) 2 L2( 1; 1), для которых функция xy(x) также принадлежит L2( 1; 1). Так, например, функ-

öèÿ

1

y = 1 + jxj 62D(A):

Оператор неограничен. Действительно, рассмотрим последовательность функций yn(x) = 1 ïðè x 2 [n; n+1] è yn = 0 при остальных x. Тогда kyn(x)k = 1, и в то же время

Покажем, что оператор A замкнут. Пусть последовательность yn(x) сходится в L2( 1; 1) к функции y(x), и последовательность xyn(x) сходится в L2( 1; 1) к некоторой функции f(x). Замкнутость означает, что f = xy. Это действительно так, поскольку из последовательностей, сходящихся в L2 можно выделить подпоследовательности, сходящиеся почти всюду (замечание 2.5.7). Тогда почти всюду

xynk (x) ! xy(x) = f(x);

что и требовалось.

Операции суммы и произведения для неограниченных операторов вводятся по тем же правилам, что и для ограниченных, но теперь нужно учи- тывать область определения. Так, произведение AB - это оператор, дей-

ствующий на вектор x по правилу (AB) = A(Bx); но D(AB) состоит из тех x 2 D(B), для которых Bx 2 D(A). Может оказаться, что D(AB) не плотно, и даже состоит только из нуля, хотя D(A) и D(B) плотны. Такие

случаи мы рассматривать не будем.

Остановимся на понятии обратного оператора A 1 в случае, когда A неограничен. Пусть Im A - линейное множество значений A, т.е., множество, на которое A отображает D(A). Если отображение

A : D(A) ! Im A

взаимно однозначно, то можно определить обратное отображение

A 1 : Ax 7!x

с областью определения Im A. Нужно только обратить внимание на два обстоятельства:

1.для существования A 1 требуется взаимная однозначность A. Это зна-

чит, что равенство Ax1 = Ax2 èëè A(x2 x1) = 0 выполняется только при x2 x1 = 0. По другому это можно выразить, сказав, что A не

имеет собственных векторов с нулевым собственным значением. Итак, A 1 существует только тогда, когда 0 не является собственным зна- чением A.

2.множество значений Im A может не быть плотным. Желая рассматри-

вать только плотно определенные операторы, мы не будем определять A 1 в этом случае.

Подведем итог этому обсуждению, сформулировав определение.

Определение 7.1.8 Пусть 0 не является собственным значением A, и пусть множество Im A плотно в H. Тогда существует плотно определенный обратный оператор, действующий по правилу

A 1 : Im A 3 Ax 7!x 2 D(A):

График оператора A 1 получается из (A) перестановкой координат: если (A) = fx; Axg, то (A 1 = fAx; xg. Из этого простого наблюдения вытекает важное следствие.

Предложение 7.1.9 Если A - замкнутый оператор, и A 1 существу- åò, òî A 1 тоже замкнут.

Доказательство. Если замкнуто множество, состоящее из пар fx; yg 2(A), то замкнуто и множество, состоящее из пар вида fy; xg, полученных

перестановкой.

Понятие резольвентного множества, спектра, а также классификация точек спектра (точечный, непрерывный и остаточный) остаются такими же, как и для ограниченных операторов. Точно так же, как и для ограни- ченных операторов, доказывается, что резольвентное множество открыто, а резольвента является аналитической функцией на (A), удовлетворяющей

тождеству Гильберта. Однако спектр теперь не обязан быть ограниченным множеством, он даже может заполнять всю комплексную плоскость.

В заключение этого раздела разберем очень поучительный пример оператора дифференцирования.

Пример 7.1.10 Оператор d=dx естественным образом определен на пространстве C(1)[a; b] непрерывно дифференцируемых функций и непрерывно

C(1)[a; b] L2[a; b]. К сожалению, так определенный оператор обладает существенным недостатком: он незамкнут. Чтобы получить замкнутый опе-

ратор, надо перейти к замыканию, (если оно есть), тем самым расширить его область определения D(A) C(1)[a; b]. Итак, пусть

un(x) 2 C(1)[a; b]; vn(x) = u0n(x) 2 C[a; b];

последовательности, которые сходятся в L2[a; b] к функциям u и v соответственно. Имеем

Z x

un(x) = vn(t)dt + Cn = ( [a;x](t); vn(t)) + Cn;

a