56 ГЛАВА 3. БАНАХОВЫ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Как и для последовательностей значение индекса p можно расширить до p = 1, так чтобы неравенство Г¼льдера для интегралов оставалось справедливым и для пар p = 1; q = 1. Здесь, однако, необходима оговорка. Дело
в том, что значения функции на множествах меры 0 не должны влиять на принадлежность функции какому-либо пространству Lp, в том числе и L1. Поэтому понятие ограниченной функции и точной верхней грани нуждаются в модификации.
Определение 3.2.8 Функция f(x) называется существенно ограничен-
ной на множестве , если существует такое подмножество 0 меры 0, что функция ограничена на n 0.
Существенной верхней гранью такой функции называется число
vrai sup jf(x)j = inf sup jf(x)j:
0 x2 n 0
Например, функция, равная нулю в иррациональных точках отрезка [0; 1], и равная n в рациональных точках вида m=n, где m; n - взаимно про-
стые, существенно ограничена на [0; 1], и ее существенный супремум равен
0.
Теперь мы вводим пространство L1 как пространство существенно ограниченных функций с нормой
kf(x)k1 = vrai sup jf(x)j:
Упражнение 3.2.9 Проверить неравенство Г¼льдера для пары p = 1; q =
1:
3.3Гильбертово пространство
3.3.1Основные понятия
Важным частным случаем банахова пространства является гильбертово пространство.
Определение 3.3.1 Комплексное векторное пространство E называется унитарным, если для любых двух векторов x; y 2 E определено число (x; y), называемое скалярным произведением, со следующими свойствами
1.эрмитовость: (x; y) = (y; x) (черта обозначает комплексное сопряжение),
2.линейность по второму аргументу:
(x; y + z) = (x; y) + (x; z); ; 2 C;
3. положительная определенность: из (x; x) = 0 следует, что x = 0.
3.3. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО |
57 |
Из пунктов 1 и 2 следует, что по первому аргументу скалярное произведение сопряженно линейно, т.е.,
( x + y; z) = (x; y) + (x; z):
Можно было бы потребовать линейность по первому аргументу и сопряженную линейность по второму. Мы придерживаемся соглашений, принятых в современной математической физике.
Понятие скалярного произведения вводится и для действительных линейных пространств, при этом вместо эрмитовости требуется симметрия: (x; y) = (y; x), а понятие сопряженной линейности отпадает. Действитель-
ное пространство со скалярным произведением называется евклидовым.
обладает всеми свойствами нормы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kxk = p |
(x; x) |
|||||
Из свойств скалярного произведения вытекает, что величина |
|
|
||||||||||||||
Лемма 3.3.2 Для любых двух векторов x; y выполняется неравенство |
||||||||||||||||
Коши-Буняковского |
|
|
j(x; y)j kxkkyk: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.3.1) |
||||||||
Доказательство. Для y = 0 неравенство, очевидно, справедливо. При |
||||||||||||||||
y 6= 0 возьмем = (y; x)=kyk2 и рассмотрим выражение |
|
|
|
|||||||||||||
kx + yk2 = (x + y; x + y) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= kxk2 + (x; y) + |
|
(y; x) + j j2kyk2 0: |
|
|
||||||||||||
Подставляя значение , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 2 |
|
j(x; y)j2 |
|
j(x; y)j |
+ |
j(x; y)j2 |
y |
|
2 |
|
0; |
|
|
|||
|
|
|
kyk2 |
kyk4 k |
k |
|
|
|
|
|||||||
k k |
kyk2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
т.е., неравенство (3.3.1).
Следствие 3.3.3 Выполняется неравенство треугольника
kx + yk kxk + kyk:
Доказательство. Имеем
kx + yk2 = (x + y; x + y) = kxk2 + kyk2 + 2<(x; y):
Но по неравенству Коши-Буняковского
<(x; y) j(x; y)j kxkkyk;
откуда и следует, что
kx + yk2 kxk2 + kyk2 + 2kxkkyk = (kxk + kyk)2:
58 ГЛАВА 3. БАНАХОВЫ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Определение 3.3.4 Унитарное (евклидово) пространство, полное по норме, определяемой скалярным произведением, называется комплексным (действительным) гильбертовым пространством.
Примерами могут служить пространства l2 è L2, при этом скалярные произведения равны соответственно
1 |
Z f(x)g(x)d : |
(x; y) = k=1 xkyk; (f(x); g(x)) = |
|
X |
|
Неравенство Коши-Буняковского для таких пространств совпадает с неравенством Г¼льдера для p = q = 2, а неравенство треугольника - с неравен-
ством Минковского.
Характерным свойством нормы, порожденной скалярным произведением является равенство параллелограмма
kx + yk2 + kx yk2 = 2kxk2 + 2kyk2: |
(3.3.2) |
Доказательство следует из равенств
(x + y; x + y) = kxk2 + kyk2 + (x; y) + (y; x); (x y; x y) = kxk2 + kyk2 (x; y) (y; x);
складывая которые, приходим к (3.3.2).
Упражнение 3.3.5 Доказать, что равенство параллелограмма не только необходимо, но и достаточно для того, чтобы норма порождалась скалярным произведением. При этом скалярное произведение задается формулами
(x; y) = 12(kx + yk2 kx yk2)
в действительном случае и
(x; y) = 12(kx + yk2 kx yk2 + ikx + iyk2 ikx iyk2):
в комплексном случае.
Отметим также непрерывность скалярного произведения: если xn ! x; yn ! y, òî (xn; yn) ! (x; y). Действительно,
j(xn; yn) (x; y)j j(xn; (y yn))j + j(x; (y yn))jkxnkky ynk + kxkky ynk ! 0:
Мы воспользовались неравенством Коши-Буняковского и ограниченностью сходящейся последовательности.
Важную роль во всех вопросах, касающихся гильбертова пространства, играет понятие ортогональности.
3.3. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО |
59 |
Определение 3.3.6 Векторы x и y называются ортогональными, если (x; y) = 0.
Множество векторов, ортогональных любому вектору из данного множества A, называется ортогональным дополнением A и обозначается
A?.
Лемма 3.3.7 Каково бы ни было множество A, его ортогональное дополнение является подпространством.
Доказательство. То, что A? - линейное множество, очевидно. Действительно, если x1; x2 2 A?, то 8y 2 A имеем
(x1 + x2; y) = (x1; y) + (x2; y) = 0;
так как оба слагаемых равны 0.
Пусть теперь xn 2 A? - последовательность, сходящаяся к элементу x0. Покажем, что x0 2 A?. Это следует из непрерывности скалярного произве-
дения. Действительно, 8y 2 A имеем
0 = (xn; y) ! (x0; y):
Таким образом, x0 ортогонален любому вектору y 2 A, т.е., принадлежит ортогональному дополнению.
Следующая теорема о проекции играет основную роль в теории гильбертова пространства.
Теорема 3.3.8 Пусть L1 - подпространство гильбертова пространства H, L2 - ортогональное дополнение к L1. Тогда любой вектор x 2 H единственным образом разлагается в сумму
x = x1 + x2; x 2 L1; x2 2 L2:
Ïðè ýòîì x1 реализует кратчайшее расстояние от вектора x до подпространства L1.
Доказательство. То, что x1 реализует кратчайшее расстояние до L1, означает, что
inf kx yk = kx x1k:
y2L1
Обозначим этот инфимум через d, и пусть yn 2 L1 - минимизирующая последовательность, т.е.
nlim kx ynk = d: |
(3.3.3) |
!1 |
|
Докажем, что последовательность yn фундаментальна. Для этого запишем равенство параллелограмма для векторов yn x è ym x:
2kyn xk2 + 2kym xk2 = kyn + ym 2xk2 + kyn ymk2;
60 ГЛАВА 3. БАНАХОВЫ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
откуда
kyn ymk2 = 2kyn xk2 + 2kym xk2 4kyn + ym xk2
2
2kyn xk2 + 2kym xk2 4d2;
òàê êàê k(yn +ym)=2 xk d. Но в силу (3.3.3) получаем, что kyn ymk ! 0 при n; m ! 1: В силу полноты пространства H фундаментальная после-
довательность yn сходится, и пусть x1 - ее предел. Так как L1 замкнуто, то x1 2 L1
Положим x2 = x x1. Из (3.3.3) имеем
kx2k2 = kx x1k2 = d2:
В то же время для любого z 2 L1; z 6= 0 и любого 2 C имеем
kx2 + zk2 = d2 + (x2; z) + (z; x2) + j j2kzk2;
и это выражение всегда больше или равно d2, так как d - это минимум длины векторов x x1 + z ïðè z 2 L1. Следовательно,
(x2; z) + (z; x2) + j j2kzk2 0:
Полагая здесь = (z; x2)=kzk2, получаем
j(z; x2)j j(z; x2)j2 + j(z; x2)j2 kzk2 0; kzk2 kzk2 kzk4
откуда j(z; x2)j2 0. Это возможно только при (z; x2) = 0. Таким образом, вектор x2 ортогонален любому вектору z 2 L1, следовательно, x2 принад- лежит ортогональному дополнению.
Докажем единственность. Пусть
x = x1 + x2 = x01 + x02;
ãäå x1; x01 2 L1, à x2; x02 2 L2. Тогда
x1 x01 = x02 x2:
Умножая скалярно на x1 x01 и учитывая, что вектор x02 x2 принадлежит L2, и следовательно, ортогонален x1 x01, получим
kx1 x01k2 = 0;
ò.å., x1 = x01, а тогда и x2 = x02.
Векторы x1 2 L1 è x2 2 L2, участвующие в разложении x = x1 + x2, называются ортогональными проекциями вектора x на L1 è L2.