1.4Пополнение

Существует замечательная процедура, позволяющая заменять неполное метрическое пространство полным путем присоединения идеальных элементов . Она носит название пополнения. С частным случаем этой общей конструкции мы встречались при переходе от рациональных чисел к действительным.

Прежде всего договоримся, какие метрические пространства рассматриваются как эквивалентные (отождествляются).

Определение 1.4.1 Два метрических пространства M1; 1 è M2; 2 называются изометричными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие

M1 3 x1 $ x2 2 M2;

сохраняющее расстояние, т.е., если

M1 3 y1 $ y2 2 M2

другая пара соответствующих элементов, то

1(x1; y1) = 2(x2; y2):

Упражнение 1.4.2 Доказать, что пространства C[0; 1] и C[0; 2] изометричны.

Нам понадобится также понятие плотного подмножества.

Определение 1.4.3 Подмножество M метрического пространства M

называется (всюду) плотным, если для любого элемента x 2 M существует последовательность xn 2 M, сходящаяся к x.

Теорема 1.4.4 Для любого метрического пространства M существу-

ет пополнение M, т.е., полное метрическое пространство M, такое что

M изометрично плотному подмножеству M1 2 M. Любые два пополнения M изометричны.

Доказательство. Пусть fxng è fyng - фундаментальные последовательности в пространстве M. Назовем их эквивалентными, если (xn; yn) ! 0. Например, если они сходятся в M, то они эквивалентны тогда и только то-

гда, когда их пределы совпадают. Нетрудно проверить, что отношение эквивалентности фундаментальных последовательностей обладает стандартными свойствами (рефлексивность, симметрия, транзитивность) (проверить это!) и потому определяет разбиение множества всех фундаментальных последовательностей на классы эквивалентнûх между собой последовательностей. Будем обозначать эти классы x; y и т.д. Класс x задается пред-

ставителем: фундаментальной последовательностью fxng 2 M или любой другой фундаментальной последовательностью, эквивалентной fxng.

Покажем, что образ M1 = i(M) плотен в M. Пусть класс x 2 M представлен фундаментальной последовательностью fxng 2 M. Рассмотрим по-

следовательность классов i(xn) = fxn; xn; : : :g 2 M и покажем, что lim i(xn) = x. Действительно, по определению расстояния

0 найдем N, такое что при n; m > N (xn; xm) < ". Переходя в этом неравенстве к пределу при m ! 1, получим, что расстояние (1.4.2) не превосходит

". Это означает, что последовательность i(xn) сходится к x в M. Докажем, наконец, что M - полное пространство. Пусть fxng - фунда-

ментальная последовательность в M. Так как i(M) плотно в M, то для каждого xn 2 M можно найти элемент xn 2 M, такой что

1

(xn; i(xn)) < n:

Покажем, что последовательность fx1; x2; : : :g 2 M фундаментальна. Действительно,

(xn; xm) = (i(xn); i(xm)) (xn; i(xn)) + (xn; xm) + (xm; i(xm))

11

(xn; xm)) + m + n ! 0

при n; m ! 1. Пусть x = fx1; x2; : : :g - класс эквивалентности фундаментальной последовательности fxng Тогда

(xn; x) (xn; i(xn)) + (i(xn); x)

1 + lim (xn; xm) n m!0

Здесь мы воспользовалèсь неравенством треугольниêа, а также формулой (1.4.1) для расстояния : Отсюда следует, что (xn; x) может быть сделано меньше данного " при n достаточно больших. Это означает, что xn ! x. Таким образом, любая фундаментальная последовательность в M сходится.

Осталось доказать единственность пополнения. Пусть M1; M2 - äâà ïî- полнения пространства M и пусть i1; i2 - плотные изометричные вложения

M â M1; M2 соответственно. Покажем, что M1 è M2 изометричны. Пусть x1 2 M1 произвольный элемент. Так как i1(M) плотно в M1, то найдется последовательность xn 2 M, такая что i1(xn) ! x1. Последовательность i1(xn) фундаментальна в M1, так как она сходится. Тогда fxng фунда- ментальна в M, поскольку i1 : M ! M1 - изометричное вложение. Так êàê i2 : M ! M2 - тоже изометричное вложение, то последовательность i2(xn) 2 M2 фундаментальна в M2. Поскольку M2 - полное пространство, то существует предел

lim i2(xn) = x2 2 M2:

n!1

Соответствие

M1 3 x1 ! x2 2 M2;

полученное таким образом, взаимно однозначно, поскольку M1 è M2 ðàâ- ноправны в этих рассуждениях. Докажем изометричность этого соответ- ствия. Обозначая 1; 2 расстояния, и пользуясь изометричностью вложе- íèé i1; i2, получим цепочку равенств

На этом доказательство закончено.