2.4.14). Так как для простых функций с одним и тем же разбиением свойство монотонности очевидно, то

ZZ

fn(x)d (fn(x) + 'n(x))d ;

GG

откуда в пределе получаем

Z Z Z

f(x)d (f(x) + '(x))d = g(x)d :

G G G

Случай функций произвольного знака сводится к доказанному выше, так как неравенство

f+ f g+ g

эквивалентно неравенству

f+ + g g+ + f :

2.5Приложения

2.5.1Предельный переход

Теорема о предельном переходе под знаком интеграла, которая изучалась в курсе анализа, требует равномерной сходимости последовательности функций на конечном отрезке. Как показывают примеры, это условие довольно жесткое. Еще более жесткие условия требуются для несобственных интегралов. Тем более впечатляет теорема Лебега о предельном переходе, требования которой минимальны и не зависят от конечности или бесконечности области интегрирования. Мы выведем ее из теоремы о монотонной сходимости, которая имеет и другие важные применения.

Теорема 2.5.1 (Б. Леви) Пусть fn(x) 0 - монотонно возрастающая последовательность интегрируемых функций, и пусть последовательность интегралов ограничена:

Z

fn(x)d C:

G

Тогда

1.последовательность fn(x) - сходится п.в. на G;

2.предельная функция f(x) интегрируема и

ZZ

Доказательство. Так как fn(x) монотонна, то для любого x 2 G она сходится к конечному или бесконечному пределу. Таким образом мы полу- чаем предельную функцию f(x) = limn!1 fn(x), которая может принимать и значения +1. Пусть E - множество точек, где f(x) = 1. Покажем, что

(E) = 0. Положим

Er = ff(x) rg; Enr = ffn(x) rg:

ßñíî, ÷òî Enr монотонно расширяются с ростом n è Er = [1n=1 Enr , следовательно,

GEnr

Отсюда (Enr ) C=r. Значит, в пределе при n ! 1 получим

(Er) Cr

è

(E) (Enr ) Cr :

Отсюда (E) = 0 в силу произвольности r. Тем самым доказан первый пункт теоремы. Функция f(x) измерима как предел последовательности

измеримых функций.

Докажем теперь вторую часть теоремы. Так как функция fn интегри- руема, то существует монотонно возрастающая последовательность

fn;1; fn;2; fn;3; : : : ! fn

простых неотрицательных функций, сходящаяся к fn. Тогда по определе- нию интеграла Лебега

Оказывается, что функции, входящие в эту таблицу, можно выбрать так, чтобы монотонное возрастание было не только по строкам, но и по столбцам, т.е., чтобы

f1;k f2;k f3;k; : : : :

Для этого в первой строке берем произвольную возрастающую последова- тельность, сходящуюся к f1. Для построения второй строки заметим, что f2(x) f1(x) 0. Следовательно, существует монотонно возрастающая последовательность неотрицательных простых функций

'1; '2; '3; : : : ;

сходящаяся к f2 f1. Тогда, полагая f2;k = f1k +'k, мы получим монотонно возрастающую последовательность простых функций, которая сходится к f2, и при этом любой элемент f2;k второй строки больше соответствующе- го элемента f1;k первой строки. Аналогично строим третью, четвертую и т.д. строки. В результате получаем таблицу, в которой имеется монотонное возрастание при движении вправо и вниз.

Рассмотрим теперь диагональную последовательность fn;n. Îíà ìîíî- тонно возрастает, так как

fn;n fn+1;n fn+1;n+1;

следовательно, сходится к некоторой измеримой функции '. В силу мо-

нотонного возрастания по строкам имеем fn;n fn; откуда, переходя к пределу, получаем ' f. Для интегралов получаем отсюда

ZZ

fn;nd fnd C;

GG

т.е., интегралы от простых функций fn;n ограничены. По определению ин- теграла, отсюда следует, что функция ' = limn!1 fn;n интегрируема и

Докажем теперь противоположные неравенства. В силу монотонного возрастания по столбцам имеем fm;n fn;n при n > m. Устремляя n ! 1, получим fm ' è

ZZ

fmd 'd :

GG

Устремляя теперь m ! 1, получаем f ' и

Теорема чаще всего применяется в следующей эквивалентной формулировке на языке рядов.

Теорема 2.5.2 Пусть un(x) 0- интегрируемые функции, и пусть

числовой ряд

1 Z

X

und

n=1 G

P1

сходится. Тогда функциональный ряд n=1 un(x) сходится почти всюду к интегрируемой функции, и

XX

Для доказательства достаточно применить теорему Б. Леви к последовательности fn(x) частичных сумм функционального ряда.

Следствие 2.5.3 (Лемма Фату) Пусть последовательность fn(x) неотрицательных интегрируемых функций сходится п.в. к функции f(x), и

Z

f(x)d C:

G

Доказательство. Условия следствия почти полностью совпадают с условиями теоремы 2.5.1, за исключением одного пункта: последовательность fn(x) не монотонна. Существует, однако, стандартный прием, позволяющий перейти к монотонной последовательности, а именно, положим

'n(x) = inf fk(x):

k n

ßñíî, ÷òî 'n(x) монотонно возрастает (у меньшего множества инфимум больше) и что 'n(x) ! f(x). Покажем, что 'n(x) - измеримые функции. Это следует из легко проверяемого равенства

1

f'n(x) < cg = [ ffk(x) < cg:

k=n

Òàê êàê 'n(x) fn(x), то из монотонности интеграла следует, что

ZZ

'n(x)d fn(x)d C;

GG

èмы приходим к условиям теоремы Б. Леви.

В качестве второго следствия мы получим теорему Лебега о мажорированной сходимости.

Теорема 2.5.4 (Лебег) Пусть последовательность интегриркемых функций fn(x) сходится п.в. в G, и пусть jfn(x)j '(x), где '(x) - интегриру-

емая функция. Тогда предельная функция f(x) интегрируема и

ZZ