2.5. ПРИЛОЖЕНИЯ |
45 |
2.5.4Плотность непрерывных функций
Пусть F - замкнутое множество в Rn, и x - точка в Rn. Определим рассто- яние (x; F ) от x до множества F как
(x; F ) = inf (x; y);
y2F
где (x; y) - евклидово расстояние между точками.
Лемма 2.5.9 Функция (x; F ) - непрерывная функция x.
Доказательство. Для любых x1; x2 2 Rn и y 2 F имеем
(x2; y) (x2; x1) + (x1; y);
откуда
(x2; F ) (x2; x1) + (x1; F ):
Меняя местами x1 è x2, получаем
(x1; F ) (x1; x2) + (x2; f);
откуда
j (x1; F ) (x2; F )j (x1; x2):
Отметим важное свойство введенного расстояния: для замкнутого множества F (x; F ) = 0 тогда и только тогда, когда x 2 F . Действительно, из
(x; F ) = 0 следует, что существует последовательность yn 2 F такая, что(x; yn) ! 0. Это значит, что x есть предельная точка (или точка прикосновения) множества F , следовательно, x 2 F в силу замкнутости F .
Лемма 2.5.10 Пусть - измеримое множество в Rn, (x) - характеристическая функция 1 множества . Тогда для любого " > 0 существует такая непрерывная функция f"(x), ÷òî
Z
jf"(x) (x)jd < ":
Rn
Доказательство. По лемме 2.3.7 для данного " > 0 найдутся замкнутое множество F и открытое множество G, такие что F G и (GnF ) < ".
Введем функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x; G) |
||||
f"(x) = |
|
|
|
; |
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
(x; G) + (x; F ) |
|||||
ãäå G = Rn n G - дополнение открытого множества G, следовательно, замкнутое множество. Очевидно, что f"(x) = 1 ïðè x 2 F , f"(x) = 0 ïðè
1Напомним, что (x) = 1 ïðè x 2 è (x) = 0 ïðè x 62 .
46 |
ГЛАВА 2. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА |
|
x 2 |
|
|
G è 0 f"(x) 1 при любых x. Тогда jf"(x) (x)j 1 и равна |
||
тождественно нулю при x 2 G n F ). Отсюда
Z
jf"(x) (x)jd (G n F ) < ":
Rn
Теорема 2.5.11 Пусть f(x) 2 L( ). Тогда для любого " > 0 найдется такая непрерывная интегрируемая на функция, что
Z
jf(x) f"(x)jd < :
Доказательство. Так как интегрируемая функция представляется в виде разности двух неотрицательных функций, то можно считать, что f(x)
0. Ее можно приблизить с любой точностью по метрике L простой функци-
ей, принимающей конечное число значений. Последняя же является конеч- ной линейной комбинацией характеристических функций измеримых подмножеств . Приближая каждую характеристическую функцию по метри-
ке L, получим приближение простой функции непрерывной, и тем самым
приближение исходной интегрируемой функции.
Следствие 2.5.12 Пространство L[a; b] является пополнением пространства Lc[a; b].
Доказательство. Для непрерывных функций на конечном отрезке [a; b] интеграл Римана совпадает с интегралом Лебега, так что Lc[a; b] L[a; b]. По доказанной теореме Lc[a; b] плотно в L[a; b]. Отсюда в силу единствен-
ности пополнения вытекает утверждение следствия.
2.5.5Теорема Фубини
В заключение мы приведем без доказательства важную теорему о сведении двойного интеграла к повторному для интеграла Лебега. В сравнении с интегралом Римана (особенно несобственным) этот результат является более сильным и удобным.
Теорема 2.5.13 (Фубини) Пусть функция f(x; y) интегрируема на прямоугольнике = fx; y : a < x < b; c < y < dg. Тогда для почти всех x 2 (a; b) функция f(x; y) интегрируема по y на интервале (c; d), а интеграл
Z d
f(x; y)dy
c
является интегрируемой функцией x на (a; b), и справедлива формула
Z Z b Z d
f(x; y)dxdy = dx f(x; y)dy:
a c
Отметим, что интервалы (a; b) и (c; d) могут быть и бесконечными.