7.3О спектральной теореме

Мы ограничимся только формулировкой и некоторыми замечаниями, так как доказательство спектральной теоремы для неограниченных самосопряженных операторов технически довольно сложно, и, как нам кажется, не стоит излагать его в этом пособии. Интересующиеся могут обратиться к книге Рисса и Секефальви-Надя "Лекции по функциональному анализу".

Уточним прежде всего понятие перестановочности неограниченного оператора A и ограниченного оператора B. Заметим, что область определения

оператора BA совпадает с D(A) так как B ограничен, и значит определен всюду. Что же касается оператора AB, то его область определения может и не совпадать с D(A), и мы специально потребуем, чтобы B отображал D(A)

в себя. Таким образом, определение перестановочности для ограниченного оператора B выглядит так:

BA AB:

Уточним теперь понятие спектральной функции самосопряженного неограниченного оператора A (сравните определение 6.3.1).

Определение 7.3.1 Функция E( ) называется спектральной функцией самосопряженного оператора A, если выполнены условия:

1.значения E( ) - это ортогональные проекторы, перестановочные с любым ограниченным оператором B, перестановочным с A,

2.семейство E( ) монотонно, т.е., E( ) E( ) при < ,

3.функция E( ) непрерывна справа, т.е.,

lim E( + 0) = E( )

!+0

(предел понимается в сильном смысле),

4.

lim E( ) = 0; lim E( ) = 1;

! 1 !1

(пределы понимаются в сильном смысле),

5.пусть = ( ; ], и E = E( ) E( ); где ; 2 R. Тогда оператор AE ограничен, самосопряжен и удовлетворяет неравенствам

E AE E :

Спектральная теорема утверждает, что для любого неограниченного самосопряженного оператора A существует единственная спектральная функ-

ция, такая что область определения D(A) состоит из векторов, для которых

который понимается как сильный (или слабый) предел.

Рациональные функции от оператора, в частности резольвента, также выражаются с помощью спектральной функции, но только интегралы будут несобственными. Например,

Z

1 1

R(z) = 1 z dE( );

при z 62R. Остается в силе и формула Стоуна, а именно, если a и b - точки

(предел слабый).

В заключение мы проиллюстрируем спектральную теорему и формулу Стоуна на примере дифференциального оператора id=dx.

Пример 7.3.2 Оператор дифференцирования на конечном отрезке.

Как показано в примере 7.2.6, оператор A = id=dx на конечном отрезке [ N; N] будет самосопряженным, если в качестве области определения

D(A) взять абсолютно непрерывные функции u(x) 2 L2[ N; N], производные которых u0 также принадлежат L2[ N; N], и, кроме того, должно

выполняться краевое условие, связывающее значения функции на концах. Наиболее простым является условие периодичности

u(N) = u( N);

которое мы и будем предполагать выполненным.

Найдем спектральное семейство этого оператора, пользуясь формулой Стоуна. Нахождение резольвенты R( ) = ( A) 1 сводится к решению

дифференциального уравнения

u + iu0 = v

при условии u(N) = u( N), где v 2 L2[ N; N] данная функция. Общее решение по методу вариации постоянной имеет вид

Z x

u = Cei x i ei (x y)v(y)dy;

N

а постоянную C находим из условия периодичности

Z N

Ce i N = Cei N i ei (N y)v(y)dy;

N

= iei Z ei (x y)v(y)dy i Z ei (x y)v(y)dy: (7.3.1)

ei N e i N N N

Мы видим, что резольвента - это интегральный оператор с простыми по-

Формула Стоуна дает сумму вычетов в полюсах n 2 (a; b):

Легко видеть, что эта сумма является отрезком ряда Фурье по ортогональ-

что совпадает с результатом почленного дифференцирования ряда Фурье для v.

Пример 7.3.3 Оператор A = id=dx в пространстве L2(1; 1).

Прежде всего покажем, что на естественной области определения, состоящей из абсолютно непрерывных функций, таких что u; u0 2 L2(1; 1)

оператор A является самосопряженным без всяких краевых условий. Для этого снова воспользуемся равенством (7.2.3), беря в качестве u абсолютно

Как и в примере 7.2.6, это опять приводит к тому, что v должна быть абсолютно непрерывной на этом отрезке, и A v = iv0. Òàê êàê N можно

выбрать произвольно, то отсюда следует, что v абсолютно непрерывна на

âñåé îñè, ïðè ýòîì v è iv0 должны принадлежать L2(1; 1). Таким образом, как и в примере 7.2.6, мы приходим к включению A A.

бесконечности. Для этого преобразуем формулу (7.3.1), записав интеграл по отрезку [ N; N] в виде суммы по промежуткам [ N; x) и (x; N]. Это

äàåò

так что в этом случае предел Rv будет равен

Z x

R(t + i")v = i e "(x y)eit(x y)v(y)dy:

1

Аналогично, предел при N ! +1 при = t i" равен

Z 1

R(t i")v = i e "(x y)eit(x y)v(y)dy:

x

Теперь непосредственной проверкой убеждаемся, что эти формулы действительно дают решение уравнения u + iu0 = v, принадлежащее L2.

и при b != 1; a ! 1 получаем, что спектральное разложение совпадает с разложением в интеграл Фурье

Как и для рядов Фурье, дифференцирование разложения в интеграл Фурье дает спектральное разложение для функции Av, идентичное с раз-

ложением, вытекающим из спектральной теоремы.

Z1

=td(E(t)v):

1

Вопросы сходимости интегралов в этих формулах требуют дополнительного исследования, которое приводит к L2 - теории интегралов Фурье. Мы здесь не имеем возможности на этом останавливаться. Заметим только, что вопросы сходимости не возникают, если ограничиться гладкими и финитными функциями v(x).