§11. Примеры групп имеющих, приложение в физике

Перечислим некоторые группы, которые наиболее широко применяются в физике:

1.Группа сдвигов (трансляций) в трёхмерном пространстве: элементами её являются преобразования переноса начала координат на произвольный вектор a:

.

Очевидно, что это трёхпараметрическая (три составляющие вектора а) непрерывная группа.

2. Группа вращений, которую обозначают обычно через . Её элементами являются всевозможные вращения пространства, оставляющие неподвижной некоторую фиксированную точку . Каждое вращение можно характеризовать единичным вектором , направленным вдоль оси вращения, и углом , на который производится поворот. Элементы вращения обозначаются, как правило, через , угол при этом отсчитывается в направлении, которое является положительным относительно вектора .

Произведение двух вращений определяется как результирующее вращение . Это означает, что если произвольный вектор переводится вращением в вектор , а он, в свою очередь, вращением переводится в вектор , то произведение переводит вектор в вектор .

Формулы, связывающие эти преобразования, весьма громоздки и мы не будем их здесь приводить.

Нетрудно показать, что каждый класс сопряжённых элементов состоит из поворотов на один и тот же угол вокруг всевозможных осей.

Так как при вращениях пространства сохраняются длины векторов и углы между ними, то скалярное произведение двух векторов в результате вращения так же не изменяется, т. е. Это означает, что вращения представляют собой унитарные операторы. Как известно, определитель матрицы любого унитарного оператора в трёхмерном действительном пространстве равен либо +1, либо -1.Вращениям соответствуют только те унитарные операторы, у которых определитель равен единице. Эти вращения называются чистыми вращениями, или вращениями первого рода.

Если в качестве группового умножения взять обычное умножение операторов, то совокупность всех унитарных операторов в действительном трёхмерном пространстве, имеющих определитель, равный единице, образует группу. Эта группа изоморфна группе вращений. Преобразование вращений оставляют неподвижной одну точку. Поэтому группы, составленные из вращательных элементов, называют точечными.

Во многих случаях оказывается предпочтительнее рассматривать группу вращений в эквивалентной трактовке: ввести в качестве параметров, характеризующих вращения некоторой новой системы координат, на так называемые, углы Эйлера и . Тогда общий элемент группы вращений можно рассматривать в таком виде

Здесь:

- поворот на угол осуществляемый вокруг оси Oz фиксированной системы координат. –поворот на угол осуществляется вокруг нового положения оси Ox, и направляющим вектором , и - поворотом вокруг оси на угол . Ось повёрнута относительно оси на угол . Каждое вращение можно рассматривать как линейный оператор , переводящий вектор в вектор . Матрицы преобразований соответствующие этому оператору, хорошо известны, и приводить их мы здесь не будем. В этой трактовке группа вращений рассматривается как трёхпараметрическая непрерывная группа Ли и обозначается как .

3.Полная ортогональная группа. Преобразование пространства, переводящее вектор в вектор , называется инверсией. Инверсию обычно обозначают символом . Таким образом, . Отсюда следует, что инверсия коммутирует со всеми вращениями , кроме того, Определитель инверсии равен минус единице. Если ко всем элементам группы вращений присоединить всевозможные произведения , то получится группа.

Эта группа называется полной ортогональной группой. Её принято обозначать через . Элементы этой группы, не являющиеся вращениями называются элементами второго рода; определитель матрицы этих элементов равен -1.

Выясним геометрический смысл элементов второго рода. Прежде всего ясно, что произведение есть зеркальное отражение в плоскости, перпендикулярной вектору .Обозначим его через .Тогда легко имеем

.

Отсюда следует, что произвольный элемент второго рода есть произведение поворота вокруг некоторой оси на зеркальное отражение в плоскости, перпендикулярной этой оси. Такое произведение называется зеркальным поворотом или вращениями второго рода и обозначается через , Если группы содержит зеркальные повороты, то их называют точечными группами второго рода. Разбиение группы W на сопряжённые классы: совокупность поворотов на один тот же угол образует класс и совокупность зеркальных поворотов на один и тот же угол тоже образует класс.

4.Евклидова группа. Всякое перемещение пространства можно задать с помощью вектора , определяющего перемещение a с радиусом - вектором точки r. Эта функция должна быть такой, чтобы расстояние между любой парой точек не изменялось в результате перемещения. Под произведением двух перемещений пространства понимают результирующее перемещение. Совокупность всех перемещений относительно этого произведения образует группу. Эта группа называется евклидовой. Обозначим эту группу через П.

Полная ортогональная группа, очевидно, является подгруппой евклидовой группы. Другой важной подгруппой евклидовой группы П, является подгруппа трансляций. Трансляции будем обозначать символом , где a – вектор перемещения всех точек пространства. Ясно, что

.

Отсюда следует, что группа трансляций, а так же любая её подгруппа изоморфна некоторой векторной группе с векторным законом сложения в качестве операции группового умножения.

5.Группа перестановок. Группа перестановок, обозначаемая как , описывает перестановки в системе состоящей из n объектов. Конкретной реализацией этой группы в квантовой механике является группа перестановок переменных, описывающих тождественные частицы. Из алгебры хорошо известно, что если имеется n предметов, то они могут быть переставлены друг относительно друга способами. Это число и есть число элементов группы перестановок. Единичным элементом группы является тождественная перестановка, когда элементы не меняют своих мест. Запись элементов группы обычно осуществляют в виде двух строк: в первой строке записываются номера элементов в их естественном (исходном) порядке, а во второй строке - результат применения этой перестановки.

Пусть имеется n объектов, которые мы пронумеруем числами от 1 до n . Из этих чисел мы можем составить n! перестановок. Возьмём одну из этих перестановок

Числа в своей совокупности дают все целые числа от 1 до n, причём в этом ряду они расставлены в определённом порядке. Запишем эту перестановку в обще принятом виде

Смысл такого представления перестановки заключается в следующем: переход от основного расположения объектов к их новому расположению совершается путём замены 1 на 2, на и так далее. Определим теперь обратную перестановку . Это будет такая операция, которая переводит в основную последовательность, т.е. 1 ставит наместо , 2 ставит на место и так далее. Посмотрим это на конкретном примере. Так группа перестановки имеет шесть элементов, которые записываются следующим образом, начиная с тождественной:

Перестановки можно отличать друг от друга ещё следующим образом: назовём беспорядком в перестановке тот факт, что большее число стоит впереди меньшего. В перестановке беспорядков нет, т. е. их число равно нулю. Во второй перестановке имеется два беспорядка, именно число 2 стоит перед числом 1 и число 3 стоит перед единицей. Точно так же и третья перестановка содержит два беспорядка. Т.е. три эти перестановки содержат чётное число беспорядков. Исследуя точно так же, оставшиеся перестановки найдём, что они содержат нечётное число беспорядков.

На основании определения обратной перестановки нетрудно получить следующие равенства:

Введём теперь понятие о произведении перестановок. Пусть и - какие-нибудь две перестановки. Назовём произведением перестановок такую перестановку, которая получается в результате применения сначала перестановки , а затем перестановки . Например, в нашем примере рассмотрим произведение перестановок 3 и 4

Назовём транспозицией операцию, которая состоит в том, что в некоторой перестановке мы меняем местами два элемента. Непосредственно очевидно, что из всякой перестановки мы можем получить любую другую перестановку, совершая несколько транспозиций. При этом, для заданной перестановки, как мы показали выше, оно будет всегда чётным, или нечётным. Перестановки, состоящие из чётного числа транспозиций, образуют сами по себе группу. Группа образованная всеми перестановками, называется обычно симметрической группой, а группа, состоящая из четных перестановок, т.е. из перестановок сводящихся к чётному числу транспозиций, называется знакопеременной.

6.Группа Лоренца состоит из преобразований, связывающих координаты двух систем отсчёта, которые движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно. Эта группа включает в себя группу трёхмерных вращений и зависит от 6 параметров: от трёх углов, определяющих взаимную ориентацию пространственных осей, и трёх составляющих скорости относительного движения. Требование инвариантности уравнений движения относительно группы Лоренца является следствием постулатов теории относительности.

7. Группы симметрии кристаллов, или пространственные группы, состоят из конечного числа ортогональных преобразований, из дискретных сдвигов

(подгруппа трансляций) и их произведений на элементы точечных групп. В настоящем конспекте пространственным группам и их представлениям будет уделено большое внимание. Здесь только коротко отметим следующее. Элементы точечных групп представляют собой линейные операторы в трёхмерном пространстве, и поэтому каждая точечная группа образует представление самой себя. Это представление называют векторным Размерность векторного представления, равна трём.