§3. Колебания и волны в двухатомной одномерной цепочке
Рассмотрим
снова одномерную решётку Бравэ с двумя
ионами в элементарной ячейке. Оба иона
будем считать идентичными; равновесные
положения их будем определять величинами
na и na+d,
причём
.
Поэтому сила взаимодейтвия между ионами
зависит от того, равно ли расстояние
между ними d или a–d
.Схема такого кристалла предсталена на
рис.
В отличие от одномерного случая здесь введены два коэффициента взаимодействия, G и K. Для простоты опять предположим, что взаимодействуют только ближайшие соседи, причём сила взаимодействия больше для пар с расстоянием d, чем для пар с расстоянием a-d. так как d меньше, чем a-d. Потенциальную энергию в этом приближении запишем в виде
,(5.3.1)
где через
обозначено
смещение иона, совершающего колебания
вблизи узла na, а
через
–
смещение иона, совершающего колебания
вблизи na+d.
Теперь заишем уравнения Ньютона
(5.3.2)
Зешение снова ищем в виде плоских волн
(5.3.3)
Здесь
и
–
постоянные, требующие определения. Их
отношение даёт относительные амплитуды
и фазы колебаний ионов в каждой
элементарной ячейке. Как в одноатомной
цепочке граничные условия Борна–Кармана,
вновь приводят к N
неэквивалентным значениям q,
определяемым формулой (5.2.2а). Снова
подставляя предполагаемые решения в
уравнения Ньютона, после сокращения на
одинаковые множители, получаем однородную
систему алгебраических уравнений
(5.3.4)
Однородная линейная система алгебраических уравнений имеет нетривиальное решение, если определитель системы обрщается в нуль. Несложные вычисления приводят к двум положительным частотам
,
(5.3.5)
Причем
.(5.3.6)
Таким образом, для каждого из N значений q имеется два решения, что в целом даёт 2N нормальных мод. Для частот имеем две ветви закона дисперсии. Они изображены на рис.
Н
ижняя
ветвь A имеет тот же
характер, что в одноатмной цепочке.
Частота колебаний
,
для малых значений
,
пропорциональна
,
а на краях зоны Бриллюэна становится
почти горизонтальной. Эту ветвь называют
акустической потому что, для малых
значений
,
частота
имеет форму
=cq,
характерную для звуковых волн. Вторая
ветвь начинается при
=0
от значения
и опускается вниз с ростом
,
достигая значения
на границе зоны. Эту ветвь называют
оптической(на рис она бозначена буквой
о) , поскольку длинноволновые оптические
моды в ионных кристаллах могут
взаимодействовать с электромагнитным
излучением, чем объясняются многие
оптические свойства таких кристаллов.
Для лучшего понимания свойств обоих ветвей, рассмотрим несколько частных случаев.
1. Пусть
волновой вектор имеет значения далеко
от границы зоны, т. е.
.
В этом случае с точностью до
,
имеем
,
тогда для дисперсионных кривых (5.3.5),
получим такие выражения
.
(5.3.7)
Когда значение
q мало, отношение
(5.3.6) сводится к
.
Нижний знак отвечает акустической моде,
т.е. такому движению, при котором два
иона в ячейке движутс в фазе друг с
другом (см. рис. а). Верхний зак отвечает
высокочастотной опиической моде, т.е.
такому движению, когда ионы движутся в
ячейке со сдвигом фаз
друг относительно друга (рис. б).
2.
.Теперь
корни и решения таковы
.
(5.3.8)
Таким образом, если , движение в соседних ячейках сдвинуты по фазе на ; эти два решения изображены наследующем рисунке. В обоих случаях происходит растяжения пружинок лишь одного типа. Здесь следует заметить, что если бы жёсткости пружинок совпадали, то щель между двумя частотами на границе , отсутствовала бы. Другие случаи, зависящие от соотношений между K и G, рассматривать не будем.
Решения этих же задач, но с учётом более далёких соседей (учёт дальнедействия) приведёт к введению дополнительных силовых констант в потенциальную энергию и вызовет затруднение решения плставленной задачи.