- •Физика конденсированного состояния вещества
- •Вводная глава
- •§1. Понятие пространства и времени.
- •§2.Масса, энергия, относительность
- •§3.Симметрия и асимметрия в неживой природе.
- •Глава I. Абстрактные группы
- •§1.Группа
- •§2.Сдвиг по группе
- •§3.Подгруппа
- •§4.Сопряжённые элементы и класс
- •§5.Инвариантная подгруппа
- •§6.Фактор – группа
- •§7. Изоморфизм и гомоморфизм групп
- •§8. Представления групп
- •§9. Характеры представлений
- •§10.Регулярное представление
- •§11. Примеры групп имеющих, приложение в физике
- •§12.Теория групп и квантовая механика
- •Глава II.Описание структуры кристаллов
- •§1.Общие свойства макроскопических тел
- •§2. Точечные группы.
- •§3. Симметрия кристаллов
- •§4.Сингонии.
- •§5.Неприводимые представления группы трансляций
- •§5.Конкретные примеры прямой и обратной решёток
- •1) Прямые решётки.
- •§6.Обозначения узлов, направлений и плоскостей в кристалле
- •§7.Определение структуры кристаллов.
- •§8. Атомный и геометрический структурный факторы
- •Глава III Движение электрона в периодическом поле
- •§1. Адиабатическое приближение
- •§2. Уравнения Хартри
- •§3 Уравнения Хартри-Фока
- •§4.Обменное взаимодействие
- •§5. Кристаллический потенциал и свойства симметрии гамильтониана
- •§6. Теорема Блоха
- •§7. Одноэлектронное уравнение Шрёдингера
- •§8. Приближение свободных электронов
- •§9. Плотность состояний
- •§10. Эффективная масса электронов
- •§11.Приближение почти свободных электронов
- •§12.Метод сильной связи
- •§13. Поверхность Ферми
- •§14. Химический потенциал и физическая статистика
- •Глава IV. Силы связи в кристаллах
- •§1. Силы Ван - дер – Ваальса
- •§2. Ионные кристаллы
- •§3.Ковалентная связь
- •§4. Металлическая связь
- •§5.Водородная связь.
- •Глава V. Динамика решётки.
- •§1. Силы упругости в кристаллах.
- •§2.Колебания и волны в одномерной атомной цепочке.
- •§3. Колебания и волны в двухатомной одномерной цепочке
- •§ 4.Нормальные колебания в трёхмерных кристаллах
- •§5. Понятие о фононах
- •§6.Спектр нормальных колебаний решётки.
- •§7.Теплоёмкость твёрдого тела
- •§8.Теплоёмкость электронного газа
- •Глава VI. Физика полупроводников
- •§1.Собственные полупроводники
- •§2. Примесные полупроводники
- •§3.Статистика электронов и дырок в полупроводниках
- •§4.Положение уровня Ферми и концентрация носителей в собственных полупроводниках
- •§5. Положение уровня Ферми и концентрация носителей в примесных полупроводниках.
- •Глава VII Кинетические свойства твёрдых тел
- •§1. Электропроводность
- •§2. Вычисление времени релаксации
- •§3. Кинетическое уравнение Больцмана
- •§4.Статическая проводимость
- •§5. Классическая теория электропроводности в магнитном поле
- •Глава VIII Растворы и химические соединения Введение
- •§1. Фазовая диаграмма.
- •§2. Упорядоченные растворы.
- •§3.Фазовые превращения.
- •§4. Типы фазовых диаграмм.
- •§5. Системы с образованием химических соединений
- •§6. Сплавы типа растворов внедрения.
- •§7. Упорядочение в сплавах
- •§8. Электронное строение сплавов и неупорядоченных систем
- •§9. Ближний порядок в сплавах
- •§10. Статистическая теория ближнего порядка
- •§11. Факторы, обусловливающие ближний порядок
- •Глава IX.Строение жидкостей и аморфных тел
- •§1. Особенности твёрдого, жидкого и газообразного состояний вещества
- •§2. Радиальные функции распределения межатомных расстояний и атомной плотности
- •§3. Функции распределения в статистической физике
- •§4.Уравнение для бинарной функции распределения
- •§5. Решение уравнения для бинарной функции распределения
- •§6.Уравнение Перкуса – Йевика
- •Глава X.Элементы физики жидких кристаллов Введение
- •§1.Классификация жидких кристаллов
- •2.Смектики c.
- •Смектики b.
- •Заключение. Фуллерены. Углеродные нити
§4.Сингонии.
Решётки Браве обладают определённой симметрией относительно поворотов и отражений. Для каждой решётки Браве существует точечная группа K преобразований, которые переводят вектор решётки в вектор решётки. Ортогональные преобразования трёхмерного пространства, принадлежащие группе K, будем обозначать через . Существует семь систем (сингоний) кристаллических решёток, различающихся точечной группой К. Оказывается, не всякая точечная группа может быть группой симметрии решётки. Требование, чтобы одновременно с a вектор также был вектором решётки, ограничивает круг допустимых точечных групп. Выясним эти ограничения. Прежде всего, следует отметить, что группа K должна содержать инверсию I: вместе с трансляцией на вектор a в группу всегда входит трансляция на вектор –a. Теперь установим, какие оси симметрии может иметь группа K? Выберем в качестве ортов базиса пространства векторов основные векторы решётки и запишем преобразование в новом базисе, в котором все векторы решётки имеют целочисленные составляющие. Если матрицу ортогональных преобразований обозначить через , то мы будем иметь
,
где - матрица перехода от первоначального ортонормированного базиса к базису . Если - поворот (или зеркальный поворот) на угол , то след матрицы , так же как и след матрицы , равен
.
Однако из условия, что преобразование должно переводить целочисленный вектор решётки в целочисленный вектор, следует, что все элементы матрицы , а, следовательно, и её след должны быть целочисленными. Отсюда получаем, что может принимать лишь следующие значения
.
Следовательно, группа K может содержать оси только второго, третьего, четвёртого и шестого порядков. Есть здесь ещё одно ограничение, которое доказыватьне будем. А сразу сформулируем вывод: все ограничения приводят ктому, что роль точечной группы кристалла могут играть лишь семь точечных групп, а именно:
.
Это и является причиной того, что существует только семь сингоний (систем): триклинная, моноклинная, ромбическая, ромбоэдрическая, тетрагональная, гексагональная, кубическая. Перечислим свойства этих точечных групп:
они содержат инверсию;
не содержат осей 5-го, 7-го и более высоких порядков;
вместе с осью 3-го,4-го или 6-го порядков они содержат также и плоскости, проходящие через эти оси.
Рассмотрим теперь векторные группы, принадлежащие одной и той же сингонии.
Точечная группа решётки Бравэ накладывает определённые ограничения на возможное расположение и относительные длины основных векторов решётки.
Д ве векторные группы, принадлежащие одной и той же сингонии, называются однотипными, если одна из них может быть переведена в другую с помощью непрерывной деформации; при этом в процессе деформации симметрия векторной группы должна быть не ниже, чем симметрия групп данной сингонии. Эти требования, предъявляемые к векторным группам, приводят к тому, что существует только 14 типов векторных групп. Рассмотрим подразделение решёток Браве на системы:
1)В триклинной системе единственная пространственная решётка имеет примитивную (Р) элементарную ячейку, в которой все три базисных вектора имеют разную длину, а все углы не равны между собой.
2) В моноклинной системе имеются две пространственные решётки: одна имеет примитивную (Р) элементарную ячейку, другая (С) имеет элементарную ячейку с центрированными основаниями (в центре оснований располагаются узлы) ячейки, нормальных к вектору
3) В ромбической системе имеется четыре пространственные решётки:
тип P имеет примитивную ячейку, тип С-ячейку с центрированными основаниями, тип I – объёмноцентрированную, т.е. буквально «внутрицентрированную» и, наконец, тип F – гранецентрированную.
4) В тетрагональной системе простейшей ячейкой будет правильная призма с квадратом в основании. Эта ячейка примитивная, и поэтому решётка называется тетрагональной типа Р. Вторая тетрагональная ячейка типа I –объёмноцентрированная.
5) В кубической системе возможны три типа решётки: простая кубическая P с примитивной ячейкой, объёмноцентрированная I кубическая решётка (ОЦК) и гранецентрированная F кубическая решётка (ГЦК).
6) В тригональной системе в качестве элементарной ячейки обычно
выбирают ромбоэдр. Решётка является примитивной, но обозначают её обычно буквой R, а не P, и соответственно называют её тригональной пространственной решёткой типа R.
д ля того чтобы подчеркнуть принадлежность данной элементарной ячейки к гексагональной системе, часто добавляют к ней ещё две ячейки, повёрнутые друг относительно друга на угол , получая, таким образом, утроенную ячейку в форме гексагональной призмы, имеющей в основании правильный шестиугольник.
Рассмотрим теперь симметрию направлений в кристалле. Совокупность всех поворотов, зеркальных поворотов, которые переводят каждое направление в кристалле в эквивалентное направление, образует точечную группу F , характеризующую симметрию направлений. Элементы этой группы не обязательно принадлежат группе симметрии кристалла, так как от них не требуется, чтобы они переводили все точки кристалла в эквивалентные точки.
Группу F можно охарактеризовать следующим образом. Всякий элемент g группы G кристалла, очевидно можно представлять в виде . Совокупность всех элементов , соответствующих элементам g, образует точечную группу. Эта точечная группа есть не что иное, как группа направлений F. Все кристаллы, имеющие одну и ту же группу направлений, образуют один кристаллический класс. Оказывается, что существует всего 32 группы направлений и, следовательно, 32 кристаллических класса. Каждый элемент группы F является в то же время элементом группы K, т.е. F содержится в K, следовательно, F является подгруппой группы K. Так как у семи групп, характеризующих сингонии, существует ровно 32 подгруппы, то и число различных классов равно 32.
Распределение кристаллических классов между сингониями
Сингонии |
Классы |
Триклинная…………... |
|
Моноклинная………… |
|
Ромбическая………….. Тетрагональная………. |
|
Ромбоэдрическая…….. |
|
Гексагональная……….. |
|
Кубическая……………. |
|
До сих пор мы рассматривали симметрию «пустых» решёток. Вернёмся теперь к рассмотрению симметрии кристалла.
Кроме подгруппы трансляций, пространственная группа содержит так же другие преобразования, вид которых обусловлен, во - первых, симметрией решётки Браве, во – вторых, симметрией компонентов кристалла, т. е. симметрией периодически повторяющееся совокупности частиц, образующей кристалл. Это обстоятельство часто приводит к тому, что не все преобразования, совмещающие узлы пустой решётки, совмещают также компоненты кристалла. Поэтому возможно, что точечная группа кристалла будет только подгруппой точечной группы пустой решётки. Вследствие этого, в группу симметрии кристалла необходимо, кроме целочисленных трансляций ввести и нецелочисленные трансляции. Тогда общий элемент пространственной группы следует представлять в виде , где - некоторые преобразования из точечной группы K, а - т рансляции на вектор , отличный от вектора решётки. Для пояснения таких несобственных трансляций рассмотрим кристаллическую решётку алмаза. Её можно составить из двух гранецентрированных кубических решёток, сдвинутых друг относительно друга вдоль пространственной диагонали куба на ¼ её длины, при этом , где a-постоянная решётки (длина ребра куба).
Пространственные группы делятся ещё на симморфные и несимморфные. Симморфными называются такие группы, в которых после каждой операции симметрии из точечной группы F осуществляется трансляция на вектор решётки. Несимморфными группами являются группы с нецелочисленными трансляциями. Всего существует 230 пространственных групп. Эти 230 групп называют федоровскими по имени российского кристаллографа Фёдорова, открывшего их. Из них симморфными являются 73 группы, остальные несимморфные.