§2.Масса, энергия, относительность

Важнейшими физическими понятиями конденсированной материи являются понятия массы и энергии. Сущность этих понятий неразрывно связана с относительностью движения, силой, работой.

Введём сначала понятие силы. Со времён Аристотеля (384-322 г. до н.э.) под силой понимали способонсть тел увеличивать движение тел: четвёрка лошадей быстрее везёт повозку, чем пара лошадей. Такое представление о силе просуществовала во времени вплоть до Галилея (1564-1642). К этому времени в умах физиков и философов уже сформировалась мысль о сохранении механического движении во вселенной. В 1644 г. Р. Декарт об этом говорил следующее: «Ибо, хотя это движение только модус (лат. модус – мера, способ) движимой материи, однако, его имеется в ней известное количество, никогда не возрастающее и не уменьшающееся, несмотря на то, что в некоторых частях материи его может быть то больше, то меньше» Здесь сразу возникает проблема измерения этого количества движения. В качестве меры измерения Декарт предложил принять произведение массы тела на его скорость, считая это призведение скалярной величиной. С этих пор произведение массы на скорость носит название количества движения и, как правило, записывается в виде (другое название «импульс»). Однако количество движения – векторная величина, поскольку скорость– вектор, поэтому в современной записи импульс (количество движения) выглядит так: .Но в 1686г. Лейбниц привёл пример, когда импульс не годился в качестве меры механического движения. Для исправления этого он ввёл величину , назвав её «живой силой». Юнг в1807 г. предложил для неё название «энергия», а Рэнкин в1853 г назвал величину – кинетической энергией. Таким образом, на рубеже 19в. Вознкло две меры механического движения. Это вызвало ожесточённые споры между сторонниками каждой меры. Этот спор в 1880 г. разрешил Ф. Энгельс, показав, почему механическое движение должно иметь две меры. Он писал: «Если имеющееся уже налицо механическое движение переносится таким образом, что оно сохраняется в качестве механического движения, то оно передаётся согласно формуле о произведении массы на скорость. Если же оно передаётся таким образом, что оно исчезает в качестве механического, воскресая снова в форме потенциальной энергии, теплоты, электричества и т. д., если, одним словом, оно превращается в какую–нибудь другую форму движения, то количество этой новой формы движения, пропорционально первоначально двигавшейся массе на квадрат скорости. Одним словом: – это механическое движение, измеряемое механическим же движением; – это механическое движение, измеряемое его способностью превращаться в определённое количество другой формы движения. Таким образом, можно сформулировать принцип неуничтожимости движения: движение не может возникать из ничего, движение не может бесследно исчезать. Движение может оолько переноситься без изменения или с изменением своей формы. Причина движения – само движение. Теперь можно перейти к выяснению сущности понятия силы. Суть этого понятия так же выявил Ф. Энгельс: «Когда какое – нибудь движение переносится с одного тела на другое, то поскольку движение переходит, поскольку оно активно, его можно рассматривать как причину движения, поскольку последнее является переносимым, пассивным, и в таком случае эта причина, это активное движение выступает как сила, а пассивное движение – как её проявление. Согласно закону неуничтожимости движения, отсюда само собою следует, что сила в точности равна своему проявлению, так как ведь в обоих случаях – это одно и то же движение. Но переносящееся движение более или менее поддаётся количественному определению, так как оно проявляется в двух телах, из которых одно может служить единицей – мерой для измрения движения в другом. Измеримость движения и придаёт категории силы её ценность.,,,, ». О сущности понятия силы писал и Герц: «…везде, где два тела принадлежат одной и той же системе, движение одного тела может быть одновременно определено движением другого. Понятие силы возникает теперь в результате того, что мы, по понятным соображениям, находим, целесообразным разложить это определение одного движения с помощью другого движения на две стадии: и сказать: движение первого тела определяет вначале некоторую силу, и она определяет уже движение второго тела. Таким образом, каждая сила становится всегда причиной какого–либо движения, но на том же основании она одновременно является следствием какого–либо движения; точнее говоря, она становится мыслимым промежуточным звеном между двумя движениями». Теперь обсуим ещё два важных понятия конденсированной материи – понятия массы и энергии.

В начале 17 века Галилей открыл, что тела обладают инерцией. Свойство инерции непосредственно вытекает из того факта, силами определяются ускорения, а не скорости, как у Аристотеля. По второму закону Ньютона сила F определяет изменение импульса тела по времени

или либо ,

где W – ускорение тела.

Эти выражения количественно определяют массу тела. Кроме того, масса тела, как уже записывали, определяет кинетическую энергию тела

.

Теперь коротко сформулируем некоторые свойства массы в Ньютоновской механике:

1. масса является мерой количества вещества, количества материи в теле;

2. масса составной системы тел равна сумме масс составляющих её частей;

3. масса изолированной системы сохраняется, не меняется с течением времени;

4. масса тел не меняется при преходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой;

5. масса тела является мерой инертности – способностью тела откликаться на действие силы – оказывать сопротивление действию силы;

6. массы тел являются источником гравитационного взаимодействия тел друг с другом. Сила этого взаимодействия определяется законом всемирного тяготния Ньютона, который, например, для случая притяжения Землёй человека будет записан в виде

,

где G – гравитационная постоянная, M – масса Земли, m –масса человека, r – радиус вектор, направленный от центра масс Земли к центру масс человека.

По второму закону Ньютона и закону всемирного тяготения ускорение g тела, свободно падающего в гравитационном поле, не зависит от его массы и равно

,

где – средний радиус Земли.

Впервые независимость ускорения в поле тяготения от формы тела и материала, из которого оно изготовлено, установил Галилей. Поскольку одна та же m входит и в закон всемирного тяготения и во второй закон Ньютона в физике этот факт трактуется как равенство инертной и тяготеющей (гравитационной) массы.

Фундаментальное значение в механике имеет принцип относительности Галилея, который установил, что никакими механическими опытами нельзя определить движение инерциальной системы отсчёта. С математической точки зрения согласно этому принципу уравнения движения, записанные в форме Ньютона должны быть инвариантны относительно преобразований координат, описывающих переход от одной инерциальной системы к другой.

В начале 20 века был сформулирован новый принцип, согласно которому никакими опытами не только механическими, но и оптическими, электрическими, магнитными и т.д. нельзя отличить движение одной инерциальной системы от другой. Этот принцип получил название принципа относительности Эйнштейна. На основании этого принципа была построена теория относительности или релятивистская теория. Введение принципа относительности Эйнштейна потребовало изменить взгляды на понятия пространства и времени, как уже было отмечено в первом параграфе. Основными соотношениями теории относительности являются выражения

,

где E –энергия частицы (системы тел), p – импульс, v – скорость частицы, тела, c –скорость света в вакууме. Эти уравнения называют релятивистскими. Важно отметить здесь, что масса m и скорость v в этих выражениях являются теми же самыми что и в приведённых выше формулах Ньютона. Энергия E импульс p в теории относительности являются компонентами четырёхмерного вектора. Они меняются при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой согдасно формулам преобразования Лоренца. Масса же остаётся неизменной, она является лоренцевым инвариантом. Как и в ньютоновской механике имеет место закон сохранения и энегии и импульса изолировнной частицы и замкнутой системы частиц. Кроме того, энергия и импульс являются аддитивными величинами

.

Что касается массы в терии относительности – она сохраняется, но свойством аддитивности не обладает.

Одним из важнейших отличий теории относительности от ньютоновской механики является то, что любое тело имеет не нулевую энергию для скорости v=0 и, соответственно, при p=0. Эту энергию называют энергией покоя и обозначают так . Как легко видеть из релятивистского выражения для энергии, что . Отсюда, таким образом, следует, что даже покоящееся тело обладает огромным запасом энергии. Это соотношение в настоящее время положено в основу ядерной энергетики. Представленные выше релятивисткие уравнения описывают движене частиц с любыми скоростями вплоть до v=c.Пусть это соотношение имеет место, тогда из выражений для импульса получаем pc=E, а из выражения для релятивистской энергии следует, что и, поскольку скорость света не равна нулю, отсюда немедленно вытекает, что m=0. Таким образом, мы получаем, что частица, двигающаяся со скоростью света должна иметь нулевую массу покоя. Для таких частиц нет систем координат, где она покоится. Для частиц с ненулевой массой покоя релятивистские уравнения можно выразить через массу и скорость следующим образом

.

Эти выражения показывают, что движение тела со скоростью v=c невозможно, так как и энергия и импульс обращаются в бесконечность. Воспользовавшись общепринятыми обозначениями, релятивистские выражения представим в виде . Найдём теперь кинетческую энергию тела . В классическом пределе , после разложения в ряд по этому малому параметру легко получить

.

Эти выражения совпадают с ньютоновскими выражениями кинетической энергией и импульса. Из этого можно сделать вывод, что масса m одинакова и в ньютоновской механике, и в релятивистской механике. Установлено так же, что связь между изменением импульса и силой одинакова и в релятивистской и ньютоновской механике. Найдём эти изменения. Пусть скорость частицы изменяется только по направлению, т. е. сила напрвлена перпендикулярно скорости. Тогда, имеем

.

Если же скорость меняется только по величине, т.е. сила направлена по скорости, то

Из последних двух выражений видно, что в обоих случаях отношение силы к ускорению различно. В первом случае коэффициент перед ускорением называют поперечной массой во втором случае – продольной.

Таким образом, если попытаться определить «инертную массу» в теории относительности как отношение силы к ускорению, то, как ясно из сказанного, однозначно это сделать нельзя, поскольку она определяется направлением силы и направлением скорости. К аналогичному заключению приводит и рассмотрение «гравитационной массы» в гравитационном взаимодействии.

Мы уже отмечали выше, что в теории относительности масса системы не равна сумме масс, составляющих систему, т.е. масса необладает свойством аддитивности. Действительно, пусть имеется n тел, тогда из релятивистского выражения для энергии, получаем

.

Отсюда легко видеть, что масса системы тел определяется их энергией и ориентацией импульсов.

Другой пример: энергию покоя атома водорода можно записать в виде

.

где и – массы протона и электрона соответственно, последние два слагаемые представляют кинетическую и потенциальну энергию электрона. Известно, что при круговом движении имеет место соотношение

,

где – скорость электрона в атоме водорода. Поэтому для массы атома водорода имеем

Отсюда видно, что масса атома водорода на несколько стотысячных масс электрона меньше . Этот недостаток, как известно, называют дефектом масс.

Проведём теперь сравнение понятия массы в теории Эйнштейна и Ньютона.

1. В теории относительности масса системы не является мерой количества материи. Поскольку в этой теории нет принципиальной разницы между веществом (протонами, нейтронами, электронами и т.д.) и излучением (фотонами), которые имеют нулевую массу покоя.

2. В классической механике, чем больше отдельных частиц содержит система, тем больше её масса. В релятивисткой теории, когда энергии частиц очень велики по сравнению с их массами, масса системы определяется не только их числом,но в большей степени их энергиями и ориентацией импульсов. Масса системы не равна сумме составляющих её тел.

3. Как и в ньтоновской механике, масса изолированной системы тел сохраняется.

4. Как и в ньтоновской механике, в теории относительности масса тела не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой.

5. Масса релятивистски движущегося тела не является мерой его инертности. Более того, единой меры инертности для релятивистски движущихся тел вообще не существует, поскольку сопротивление тела ускоряющей его силе зависит от угла между вектором силы и вектором скорости.

6. Масса релятивистски движущегося тела не определяет его взаимодействие с гравитационным полем. Оно определяется тензором энергии – импульса.

7. Равная нулю масса тела означает, что оно должно двигаться со скоростью света

8. Согласно теории относительности масса частицы является мерой энергии покоя . Это свойство массы было неизвестно в нерелятивистской механике.

Масса тела (или элементарной частицы) является одной из важнейших характеристик физического объекта. Поэтому её измерение производится с высокой степенью тщательности и для этой цели в основном используется релятивистские уравнения, требующие одновременного определения импульса и энергии.

Из всего, что было изложено в этом параграфе, с очевидностью следует, что понятие массы, так же как и понятие просранства и времени требует дальнейшего развития. Поэтому выяснение понятие массы вопрос номер один совремённой физики.

В настоящее время установлено, что основной вклад в массы протонов, нейтронов дают сильные взаимодействия, обусловленные глюонами, а не кварками, которые входят протоны и нейтроны. Однако ничего не известно о природе массы лептонов и кварков. В настоящее время существуют теоретические догадки, что в создании масс лептонов и кварков, а так же W – и Z – бозонов ответственны некоторые гипотетические частицы со спином равным нулю.