§3. Кинетическое уравнение Больцмана

Как ясно из проведённого в предыдущих параграфах анализа, для описания проводимости в твёрдых телах необходимо использовать квантовую механику. Но ввиду того, что явления переноса связано с реакцией электронов в определённых энергетических зонах на внешнее электрическое и (или) магнитное поля и градиенты температур, и регулируется столкновениями с примесями и другими нарушениями периодичности решётки, о полном квантовомеханическом описании такого явления не может быть и речи. Для этой цели оказывается справедливым, кинетическое уравнение Больцмана. При построении этого уравнения фундаментальное значение имеет запись «интеграла столкновений» – члена, описывающего сравнительно редкие столкновения электронов.

Чтобы получить выражение для интеграла столкновений необходимо найти полное решение задачи о рассеянии электронов. Это решение требует знания законов их взаимодействия с колебаниями решётки, с примесями и т. д. Однако развитие электронной теории металлов показало, что имеется большое число неравновесных кинетических свойств металлов, слабо зависящих от детальной структуры интеграла столкновений и определяемых, главным образом, законом дисперсии электронов проводимости. Это даёт возможность основное внимание уделить полевой (силовой) части кинетического уравнения, почти не занимаясь исследованием структуры интеграла столкновений.

Первым шагом в квазиклассической теории переноса является введение величины , характеризующей распределение носителей с определённым волновым вектором k в окрестности точки r в данный момент времени t,т. е. в элементе фазового объёма . Тогда функциональное выражение n drdk даёт число носителей в момент времени t в элементе объёма фазового пространства. Далее, так как n изменяется со временем. Мы опишем это изменение, подсчитывая число частиц, которые приходят и покидают элемент фазового объёма, причём полное число частиц N определяется выражением

. (7.3.1)

Пусть носитель совершает случайные блуждания и не рассеивается вовсе. Тогда будет справедливо следующее соотношение

,

или же

.

Отсюда можно получить, что

, (7.3.2)

где и – операторы градиента по координатам и волновому вектору соответственно. Введём скорость v и силу F, действующую на носители, следующим образом

. (7.3.3)

Тогда вместо (6.3.2) получим

. (7.3.4)

Это и есть так называемое бесстолкновительное уравнение Больцмана. Оно описывает движение носителей в фазовом пространстве.

Введём столкновения

В реальных кристаллах носители сталкиваются между собой. Ограничимся рассмотрением столкновений, идущих с сохранением энергии. В этом случае можно получить обобщённое уравнение Больцмана, учтя эти процессы введением столкновительного члена.

. (7.3.5)

Даже исследование процессов упругих столкновений является очень сложной задачей. Введём микроскопическую вероятность рассеяния электрона в единицу времени из занятого состояния с волновым вектором k, в незаполненное состояние с волновым вектором . Тогда используя статистику Ферми, получим

, (7.3.6)

где . В выражении (6.3.6) I(n) – интеграл столкновений – сложный функционал от функций распределения, структура и конкретный вид которого определяется взаимодействием электронов с примесями, друг с другом и другими квазичастицами. В последнем случае (6.3.6) должна быть дополнена функциями распределения других квазичастиц. Отметим здесь ещё, что интеграл столкновений обращается в нуль равновесной функцией распределения Ферми с произвольными значениями параметров температуры и химического потенциала. Когда тепловое равновесие устанавливается, одни столкновения не изменяют полной плотности точек в фазовом пространстве, и тогда интеграл столкновений обращается в нуль. Откуда следует так называемый принцип детального равновесия

. (7.3.7)

Линеаризация уравнения Больцмана

Для ряда задач, связанных с переносом, допустимо предположение, что установившееся в поле стационарное распределение n при изотермических условиях не очень отличается от равновесного распределения. Тогда задача сводится к нахождению распределения возбуждённых состояний

.(7.3.8)

Это даёт возможность сильно упростить задачу, в особенности, когда мы интересуемся только линейными членами порядка в линейном по полю F,уравнении Больцмана. Так, например, легко решается задача нахождения постоянного тока в однородном электрическом поле. Линеаризацией можно свести уравнение (7.3.5) к виду

, (7.3.9)

где .

Выражение (6.4.9) называется линеаризованным уравнением Больцмана.

Приближение времени релаксации

Пусть отклонение от равновесного распределения вызвано внешним полем, которое выключается в момент времени t=0. Тогда спадает экспоненциально за характерное время – время релаксации

. (7.3.10)

Это означает, что в изотермических условиях (когда отсутствует диффузный член) и в нулевом поле уравнение (6.3.9) сводится к виду

.(7.3.11)

Соответственно, если поддерживать постоянным поле F, устанавливается стационарное состояние, в котором

, (7.3.12)

где

,

– химический потенциал.