§8. Атомный и геометрический структурный факторы
Для исследования
атомного и молекулярного строения
конденсированных сред в настоящее время
очень широко применяются рентгенографические,
электронографические и нейтронографические
методы. Они основываются на анализе
углового распределения интенсивности
рассеяния излучения. Здесь мы рассмотрим
только рассеяние рентгеновского
излучения. Это излучение, взаимодействуя
с электронами, приводит их в колебательное
движение. Колеблясь с той же частотой,
что и электрический вектор первичной
электромагнитной волны, электроны
порождают вторичное электромагнитное
излучение, распространяющееся во всех
направлениях. Предположим, что на
свободный электрон направлен пучок
параллельных монохроматических
рентгеновских лучей, интенсивность
которых равна
.
Электрон под действием вектора
электромагнитной волны совершает
колебания, излучая вторичные волны.
Угловое распределение интенсивности
этих волн зависит от состояния поляризации
первичного излучения. Если они
поляризованы, то интенсивность рассеяния
одним электроном, фиксируемая в в точке
на расстоянии L от
электрона, выражается известной
электродинамической формулой
,
(8.1)
где m
– масса электрона, e–
его заряд, c– скорость
света,
–
угол между направлениями колебания
электрона и рассеянием. Из этой формулы
видно, что с увеличением угла
интенсивность рассеяния увеличивается,
достигая наибольшего значения для угла
.
При дифракции рентгеновских лучей на
кристалле наиболее существенным фактором
является распределение электронной
плотности в элементарной ячейке. Если
пренебречь рассеянием атомных ядер, то
окажется, что с учётом конечной
протяжённости распределения электронной
плотности амплитуда дифрагированного
излучения пропорциональна множителю,
зависящему от длины волны рентгеновского
излучения, угла падения и распределения
электронной плотности в атоме. В качестве
первого шага установим связь между
амплитудой рентгеновского луча,
рассеянного под углом Брэгга элементом
заряда
в элементе объёма
в окрестности точки r,
и аналогичной амплитудой при рассеянии
электроном, расположенном в узле решётки
как показано на рис.
Здесь
–
электронная плотность,
–
вероятность найти электрон в объёме
dv; электронная
плотность удовлетворяет, конечно,
условию
,
(8.2)
Где Z–
заряд ядра. Разность фаз
между излучением, рассеянным в центре
и в элементе объёма dv по
формулам п.6 составит
,
(8.3)
Причём, как
отмечалось ранее (п.6) дифракционным
максимумам соответствуют целые m.
Представим амплитуду рассеяния точечным
электроном в направлении
в виде
,
где
.
В отличие от этого при рассеянии элементом
объёма dv амплитуда содержит
дополнительный множитель
и сдвинута по фазе на величину
.
В результате отношение амплитуд при
рассеянии элементом dv и
точечным электроном, расположенным в
центре, составляет
,(8.4)
где
.
Согласно принципу суперпозиции, отношение
амплитуды рассеяния атомом (атомами) к
амплитуде рассеяния точечным электроном
в узле решётки равно
,
(8.5)
т.е. совпадает с фурье – компонентой электронной плотности. Учтём далее, что электронную плотность в кристалле при адиабатическом приближении можно представить в виде суммы
,
(8.6)
где
–
распределение электронной плотности
в атоме в узле l
на подрешётке
и занимаемом атомом сорта
.
Таким образом, результат преобразование
Фурье можно записать так
,
(8.7)
здесь
, (8.8)
(8.9)
Последнее выражение представляет собой фурье – образ электронной плотности, связанной с атомом сорта . Эта величина называется атомным фактором. Если все атомы в кристалле одного сорта, то выражение (7.7) упрощается и принимает вид
,
(8.10)
где
для всех
,
а
.
(8.11)
Называется геометрическим структурным фактором. В совершенных кристаллах из закона Брэгга следует условие q=K (K – вектор обратной решётки). Однако в общем случае это условие может и не выполняться.
В качестве примера иллюстрируещего структурный фактор запишем его выражение для ГЦК решётки. Базис этой решётки состоит из четырёх одинаковых атомов с координатами в обычной кубической элементарной ячейке (000) и 0.5 (0 1 1). 0.5 (101), 0.5 (110) Тогда (7.10) вместе с (7.11) принимает вид
Если все индексы – чётные целые числа,
то S=
;
то же самое получается, если все индексы
нечётные. Однако, есл только один из
индексов нечётный, то в показателе двух
экспонент будет произведение нечётного
числа на
и S будет равно
нулю. Таким образом, в ГЦК решётке не
могут иметь место отражения от плоскостей,
для которых часть индексов – чётные
числа, а часть – нечётные. Нижний рисунок
иллюстрирует это: оба соединения и
,
и
обладают ГЦК решёткой, однако решётка
аналогична простой кубической решётке,
поскольку ионы калия и хлора имеют
равное число электронов, поэтому их
рассеивающая способность одинакова.
Этот факт иллюстрируется риснком,
который расположен ниже.
