§6.Спектр нормальных колебаний решётки.

Важным вопросом при изучении колебаний решётки является вопрос о распределении нормальных колебаний по частотам. Этот вопрос мы уже частично рассматривали в простейшем случае колебаний линейной цепочки. Было показано, что длины волн, которые могут возникать в такой цепочке, равны

, (5.6.1)

где L-длина цепочки, N-число атомов в ней.Число нормальных колебаний z с длиной волны, равной или большей равно, очевидно, n

. (5.6.2)

Для трёхмерного кристалла с объёмом V, строгий расчёт показывает, что

. (5.6.3)

И, так как, поэтому, имеем

.(5.6.4)

После дифференцирования этого выражения получим

. (5.6.5)

Из этой формулы получаем число нормальных колебаний, заключённых в интервале частот от частоты до в таком виде

. (5.6.6)

Эта функция определяет число нормальных колебаний, приходящихся на единичный интервал частот, и называется функцией распределения нормальных колебаний по частотам. Так как полное число колебаний, которое может возникнуть в решётке равно 3N, то она должна удовлетворять следующему условию нормировки

, (5.6.7)

где - максимальная частота, ограничивающая спектр нормальных колебаний сверху. Аналитическое вычисление этого интеграла даёт такое выражение

. (5.6.8)

Отсюда находим

. (5.6.9)

Частота называется характеристической дебаевской частотой. Температура, определённая с помощью соотношения (k- постоянная Больцмана) называется характеристической температурой Дебая. В качестве примера ниже в таблице приведены температуры химических элементов и некоторых соединений

При температуре Дебая в твёрдом теле возбуждается весь спектр нормальных колебаний, включая и колебания с максимальной частотой. Поэтому дальнейшее повышение температуры выше не может уже вызвать появление новых нормальных колебаний. Действие температуры в этом случае сводится лишь к увеличению степени возбуждения каждого нормального колебания, приводящее к возрастанию их средней энергии. Температуры принято называть высокими. С учётом частоты Дебая, выражение для плотности состояний может быть преобразовано у виду

. (5.6.10)

§7.Теплоёмкость твёрдого тела

Для характеристики тепловых свойств твёрдого тела очень важной величиной является его удельная теплоёмкость при постоянном объёме . Дело в том, что по классическим представлениям о распределении энергии по степеням свободы выражение для энергии получается не зависящим от температуры: так называемый закон Дюлонга и Пти: . В то время как эксперимент даёт её зависимость от температуры, что иллюстрируется ниже приведённым рисунком для некоторых кристаллов инертных газов.И з рисунка следует, что при температурах порядка и выше измеренные теплоёмкости довольно близки к значению, определённому законом Дюлонга и Пти. Однако можно отметить следующее:

1.При понижении температуры теплоёмкость падает гораздо ниже значения Дюлонга и Пти, стремясь к нулевой температуре.

2.Видно, что даже при высоких температурах теплоёмкость остаётся немного меньше значения, даваемого законом Дюлонга и Пти.

Последнее расхождение можно объяснить классически как нарушение гармонического приближения. В тоже время при очень низких температурах тепловой энергии недостаточно, чтобы атом мог сильно удалиться от своего равновесного положения, поэтому при понижении температуры гармоническое приближение становится весьма точным. Итак, из классической механики следует, что закон Дюлонга и Пти не должен выполняться при высоких температурах, но должен выполняться с всё большей точностью при понижении температуры.

Таким образом, классическая теория совершенно не может объяснить поведение теплоёмкости при низких температурах и требуется привлечь квантовую механику.

Согласно определению, функция формула (5.5.10) выражает среднее число фононов, обладающих энергией . Поэтому, умножая его на эту величину, получим среднюю энергию возбуждённого нормального колебания, имеющего частоту .

. (5.7.1)

Тепловая энергия твёрдого тела складывается из энергии нормальных колебаний решётки. Число же нормальных колебаний, приходящееся на спектральный участок равно . Умножая это число на среднюю энергию нормального колебания, получим суммарную энергию нормальных колебаний, заключённых в интервале :

. (5.7.2)

Проинтегрировав это выражение по всему спектру частот нормальных колебаний, получим энергию тепловых колебаний решётки

(5.7.3)

Теплоёмкость твёрдого тела при постоянном объёме находится дифференцированием по T

. (5.7.4)

Как мы видели, поведение теплоёмкости от температуры различно для разных её областей. Поэтому рассмотрим сначала с качественной стороны для двух областей температур: а) случай , эту температуру называют областью низких температур, и б) для области высоких температур .

В случае а) возбуждаются в основном низкочастотные нормальные колебания, для которых можно записать такое соотношение , тогда нетрудно получить такое разложение

. (5.7.5)

Следовательно, в области низких температур средняя энергия каждого нормального колебания растёт пропорционально абсолютной температуре T

Этот рост обусловлен тем, что с повышением температуры происходит увеличение степени возбуждения нормального колебания, которое приводит к росту средней энергии. Кроме этого в области низких температур повышение температуры вызывает возбуждение новых нормальных колебаний с более высокими частотами. Их число z можно оценить так. Пусть при T возбуждаются все нормальные колебания вплоть до частоты , тогда

(5.7.6)

Таким образом, при низких температурах энергия кристалла с повышением температуры увеличивается вследствие двух факторов: а) роста средней энергии каждого нормального колебания из-за повышения степени его возбуждения и б) роста числа возбуждённых нормальных колебаний решётки. Первый механизм вызывает рост энергии, пропорциональный T, второй – пропорциональный . Поэтому с повышением температуры энергия решётки растёт пропорционально , т. е.

(5.7.8)

а теплоёмкость .

Последнее соотношение выражает закон Дебая, хорошо выполняющийся при низких температурах.

Случай б) область высоких температур. Как уже отмечалось, при температуре выше Дебаевской возбуждаются все нормальные колебания решётки, и дальнейшее повышение температуры не может привести к увеличению их числа. Поэтому в области высоких температур изменение энергии тела может происходить только за счёт повышения степени возбуждения нормальных колебаний, которое приводит к увеличению их средней энергии , но тогда теплоёмкость не должна зависеть от температуры. И, следовательно, имеет место закон Дюлонга и Пти. На рис. сплошной линией показана теоретическая кривая зависимости теплоёмкости твёрдых тел от температуры, точками – экспериментальные данные для твёрдых тел, приведённых в списке на этом же рисунке.

Рисунок показывает хорошее согласие теории с опытом не только с качественной, но и с количественной стороны. Таким образом, совпадение теоретических и экспериментальных данных по теплоёмкостиь твёрдых тел, свидетельствует о правильном понимании движении атомов в кристаллических твёрдых телах, а также и о квантовом представлении характера их движения, отражённом в концепции квазичастиц – фононов.

Здесь, однако, остаётся одна нерешённая проблема. Рассматривая частицы образующие твёрдое тело (атомы и электроны) по классической теории мы должны были бы получить теплоёмкость для кристаллов с одновалентным атомом в два раза больше, чем даёт закон Дюлонга и Пти, полагая, что электроны вносят такой же вклад в теплоёмкость, как и атомы. Рассмотрим решение этой проблемы в следующем параграфе.