§12.Метод сильной связи

Вычисление структуры зон представляет собой узкоспециальную область, которую в конспекте лекций не представляется возможным рассмотреть в деталях. Имеется достаточно богатая литература, где эта проблема изучается с различных точек зрения. Здесь же мы рассмотрим только один из самых первых реальных методов расчёта спектра это метод сильной связи.

Ранее уже были в кратце рассмотрены риближения свободныъх и почти свободных электронов. Основной недостаток этих методов заключается в том, что фурье разложения потенциала и волновых функций очень слабо сходятся. Поэтому рассмотрения поля решётки как возмущения оказывается неэффективным. Причина этого состоит в быстом изменении потенциала ионов вблизи ядер. В этой области, однако, электрон находится в поле, близком к полю изолированного атома, и волновая функция его должна быть близка к атомной волновой функции. Отказавшись от приближения почти свободных электронов, можно попытаться рассмотреть другой предельный случай и искать волновую функцию электрона в кристалле в форме комбинации атомных волновых функций, которые часто известны в явном виде. Однако при любом методе аппроксимации должна удовлетворяться теореме Блоха. Пусть – волновая фукция электрона в свободгном атоме, отнесённая к атому в узле l , тогда нетрудно проверить, что следующая комбинация из этих волновых функций удовлетворяет теореме Блоха

. (12.1)

Если эта функция близка к истинной, то энергия электрона в этом состоянии близка к среднему значению гамильтониана, вычисленному с помощью этой функции

(12.2)

В очень простом случае, когда атомные волновые функции, относящиеся к соседним атомам, перекрываются только слабо, мы получаем

, (12.3)

где

,(12.4)

здесь – атомный потенциал; одночастичный гамильтониан с этим потенциалом как раз и даёт энергию свободного атома.

Принятую модель легко интерпретировать физически. Рассмотрим некоторый электрон вблизи иона l=0. Потенциал в формуле (12.4) представляет собой разность между потенциалом свободного атома кристаллическим потенциалом; благодаря тому, что он отличен от нуля, электрон иммет возможность туннелировать от одного иона к другому, вследствие перекрытия атомных волновых функций, вдоль всей решётки. Выражение (12.3) представляет собой энергию возбуждения особого рода, распространяющегося от одного узла к другому со скоростью, зависящей от волнового вектора.

Чтобы представить решение в явном виде, рассмотрим в качестве примера простую кубическую решётку и предположим, что функция соответствует s – состоянию. Если существенный вклад в интеграл перекрытия (11.4) дают только ближайшие соседи, то он оказывается одним и тем же для всех направлений, и мы получаем

.(12.5)

Здесь – положительная величина. При образовании кристалла из N атомных состояний, первоначально обладавших энергией , благодаря взаимоденйствию расщепляются в зону из N уровней ширины 12 .Эта ширина зависит от того, насколько близко атомы располагаются друг к другу в кристалле. В принципе мы могли бы взять волновые функции любых атомных состояний и получить соответствующую энергетическую зону.

Так, в случае, представленном на рис. мы имеем p – зоны, которые в зависимости от межатомного расстояния r могут либо пересекаться, либо не пересекаться с s – зонами. Следует помнить, однако, что выражение (12.1) для волновой функции лишь приближённо изображает правильную волновую функцию; для получентия более точных результатов следует здесь брать более точные комбинации атомных функций.