§13. Поверхность Ферми

Как было отмечено в предыдущих параграфах, поверхностью Ферми называется поверхность постоянной энергии в трёхмерном обратном – пространстве, которой соответствуют состояния с энергией равной энергии Ферми при температуре . Представляет интерес построить такую поверхность исходя из зависимости энергии от вектора , найденной каким – либо образом. Поскольку такие реалистические вычисления зависимости чрезвычайно сложны, здесь мы ограничимся построением этой поверхности на основании приближения свободных электронов, принимая во внимание, что волновой вектор изменяется только в первой зоне Бриллюэна нужно воспользоваться формулой (7.5). При использовании всего обратного пространства это выражение упрощается и принимает вид

, (13.1)

Так что поверхности постоянной энергии будут сферическими. Поэтому для описания поверхности Ферми данного металла можно использовать известное число электронов проводимости на элементарную ячейку, чтобы найти объём сферической поверхности Ферми. Подобные вычисления мы уже выполняли в параграфе 8. Здесь же проведём аналогичные вычисления с расчётом на практическое применение результатов для построения поверхности Ферми. Итак, пусть каждый атом отдаёт в элементарную ячейку x электронов, тогда с учётом ориентации спина можно записать такое соотношение

. (13.2)

Откуда .

Для простоты рассмотрим отдельно три кубические структуры. Для них радиус , удобно выразить через параметр обратной решётки – , т.е.

. (13.3)

Соответственно энергия Ферми равна

. (13.4)

Сферическая поверхность Ферми, определяется последними двумя соотношениями, в расширенной зонной схеме. Но практически эта схема не очень удобна. Так как нужно посмотреть, что произойдёт с теми частями поверхности Ферми, векторы k которых оканчиваются вне первой зоны Бриллюэна. Чтобы понять суть проблемы рассмотрим простой вариант плоской квадратной решётки. Если валентность металла равна 1, то с учётом спина электрона, площадь, занятая электронами, будет составлять половину площади зоны Бриллюэна. Поэтому . Таким образом

. (13.5)

Следовательно, поверхность Ферми свободных электронов полностью

помещается внутри зоны Бриллюэна в нашей расширенной зонной схеме (см. рис.а).

Если же валентность равна 2, то аналогичные вычисления для радиса сферы дают такое выражение

, (13.6)

и поверхность Ферми теперь не помещается целиком в первой зоне Бриллюэна (см. рис.б).Области занятых состояний, обозначенные цифрами 1.2.3 и 4 и лежащие вне первой зоны можно переместить в неё с помощью некоторых векторов обратной решётки. Поэтому в схеме приведённых зон части поверхности Ферми будут размещаться в первой и второй зонах (рис. а,б,в).

В ернёмся к случаю реальных трёхмерных металлов. Запишем объёмы элементаорных ячеек поочерёдно ГЦК – структуры , ОЦК - , ГПУ- структуры , где . Использя эти данные можем получить для каждого значения x величину и энергию Ферми в расширенной зонной схеме в приближении свободных электронов.

Для Г.Ц.К. и О.Ц.К. структур на каждую элементарную ячейку приходится только один атом, поэтому x как раз равно валентности. В гекс.п.у на элементарную ячейку приходится два атома, величина x равна удвоенной валентности. металла. Применим полученные результаты к некоторым реальным металлам:

а) щелочные металлы. Заряд ионов щелочных металлов равен единице. Электроны ионной сердцевины образуют замкнутую атомную конфигурацию инертных газов и сильно связаны с ядром, поэтому они дают низколежащие зоны, которые рчень узки, полностью заполнены и описываются приближением сильной связи. Вне ионной сердцевины находится один электрон проводимости. Если бы мы считали электроны проводимости в металле совершенно свободными, поверхность Ферми представляла бы собой сферу радиусом (13.6).Поэтому сфера свободных электронов целиком лежит внутри первой зоны Бриллюэна. Экспериментальные измерения параметров поверхности Ферми с большой точностью подтверждают этот результат теории свободных электронов. Эти подтверждения особенно заметны в натрии и калии, где отклонения радиуса поверхности Ферми от значения для свободных элкетронов составляет десятые доли процента. Однако,следует отметить ,что при почти сферических поверхностях Ферми на брэгговских плоскостях могут существовать энергетические щели шириной до 1эВ;

б ) благородные металлы. В металлическом состоянии у благородных элементов (Cu,Ag,Au) атомные уровни с заполненными оболочками конфигурации аргона дают зоны с очень сильной связью, лежащие гораздо ниже энергий любого из остальных электронных уровней в металле. В меди, чтобы разместить одиннадцать электронв (сверх оболочки аргона),нужны ,как минимум, шесть зон. Эти шесть зон распадаются на пять d –зон и шестую s – зону. Пять из них получаются из пяти атомных d– уровней в смысле приближения сильной связи, а на шестом уровне размещается электрон, который в атоие был 4s– электроном. Теоретически рассчитанная зонная структура показывет, что при экспериментальном исследовании поверхности Ферми с определённым успехом можно продолжать использовать результаты расчётов по методу почти свободных электронов. Действительно, измерения параметров поверхности Ферми благородных металлов показывют, что поверхгность Ферми в целм очень похожа на сферу свободных электронов, но в направлении [111] касаются граней зоны Бриллюэна. Поэтому наблюдаемые поверхности Ферми имеют форму, показанную на рис. Модель сврободных электронов для металлов с г.ц.к. и одним электроном проводимости даётдля поверхности Ферми сферу с объмом равным половине объёма зоны Бриллюэна; она полностю помещается внутри зоны Бриллюэна и не касается её границ. Однако, как показывает эксперимент, имеется заметное искажение сферы Ферми и её касание гексагональных граней. Такую же картину следует ожидать и для серебра и золота.

Одним из важнейших и успешно применяемых экспериментальных методов определения фермиевских характеристик, является метод, основанный на эффекте де Газа – ван Альфена. Этот эффект заключается в своеобразных колебаниях магнитной восприимчивости кристалла в зависимости отнапряжённомти магнитного поля. Если металл помещается в магнитное поле, то движение электронов в нём протисходит не по прямым траекториям, а по окружностям. Если радиус окружности таков, что частота вращения электрона, расположенного на поверхности Ферми, равна частоте, с которой он вращается по окружности, полностью лежащей на поверхности Ферми, магнитная восприимчивость увепичивается. В случае простой поверхности Ферми частота вращения равна частоте движения вдоль большого круга сферы Ферми; однако в случае более сложных поверхностей может существовать несколько «больших кругов». Исследование осцилляций де Газа – Ван Альфена от направления вкристалле привело к обнаружению довольнол необычной формы поверхностей Ферми в металлах. На следующем рисунке изображена своеобразная по форме поверхность Ферми магния.

К другим экспериментальным методам определения фермиевских характеристик следует отнести: аномальный скин–эффект, электронная удельная теплоёмкость, магнитосопротивление кристалла и ряд других эффектов.