- •Физика конденсированного состояния вещества
- •Вводная глава
- •§1. Понятие пространства и времени.
- •§2.Масса, энергия, относительность
- •§3.Симметрия и асимметрия в неживой природе.
- •Глава I. Абстрактные группы
- •§1.Группа
- •§2.Сдвиг по группе
- •§3.Подгруппа
- •§4.Сопряжённые элементы и класс
- •§5.Инвариантная подгруппа
- •§6.Фактор – группа
- •§7. Изоморфизм и гомоморфизм групп
- •§8. Представления групп
- •§9. Характеры представлений
- •§10.Регулярное представление
- •§11. Примеры групп имеющих, приложение в физике
- •§12.Теория групп и квантовая механика
- •Глава II.Описание структуры кристаллов
- •§1.Общие свойства макроскопических тел
- •§2. Точечные группы.
- •§3. Симметрия кристаллов
- •§4.Сингонии.
- •§5.Неприводимые представления группы трансляций
- •§5.Конкретные примеры прямой и обратной решёток
- •1) Прямые решётки.
- •§6.Обозначения узлов, направлений и плоскостей в кристалле
- •§7.Определение структуры кристаллов.
- •§8. Атомный и геометрический структурный факторы
- •Глава III Движение электрона в периодическом поле
- •§1. Адиабатическое приближение
- •§2. Уравнения Хартри
- •§3 Уравнения Хартри-Фока
- •§4.Обменное взаимодействие
- •§5. Кристаллический потенциал и свойства симметрии гамильтониана
- •§6. Теорема Блоха
- •§7. Одноэлектронное уравнение Шрёдингера
- •§8. Приближение свободных электронов
- •§9. Плотность состояний
- •§10. Эффективная масса электронов
- •§11.Приближение почти свободных электронов
- •§12.Метод сильной связи
- •§13. Поверхность Ферми
- •§14. Химический потенциал и физическая статистика
- •Глава IV. Силы связи в кристаллах
- •§1. Силы Ван - дер – Ваальса
- •§2. Ионные кристаллы
- •§3.Ковалентная связь
- •§4. Металлическая связь
- •§5.Водородная связь.
- •Глава V. Динамика решётки.
- •§1. Силы упругости в кристаллах.
- •§2.Колебания и волны в одномерной атомной цепочке.
- •§3. Колебания и волны в двухатомной одномерной цепочке
- •§ 4.Нормальные колебания в трёхмерных кристаллах
- •§5. Понятие о фононах
- •§6.Спектр нормальных колебаний решётки.
- •§7.Теплоёмкость твёрдого тела
- •§8.Теплоёмкость электронного газа
- •Глава VI. Физика полупроводников
- •§1.Собственные полупроводники
- •§2. Примесные полупроводники
- •§3.Статистика электронов и дырок в полупроводниках
- •§4.Положение уровня Ферми и концентрация носителей в собственных полупроводниках
- •§5. Положение уровня Ферми и концентрация носителей в примесных полупроводниках.
- •Глава VII Кинетические свойства твёрдых тел
- •§1. Электропроводность
- •§2. Вычисление времени релаксации
- •§3. Кинетическое уравнение Больцмана
- •§4.Статическая проводимость
- •§5. Классическая теория электропроводности в магнитном поле
- •Глава VIII Растворы и химические соединения Введение
- •§1. Фазовая диаграмма.
- •§2. Упорядоченные растворы.
- •§3.Фазовые превращения.
- •§4. Типы фазовых диаграмм.
- •§5. Системы с образованием химических соединений
- •§6. Сплавы типа растворов внедрения.
- •§7. Упорядочение в сплавах
- •§8. Электронное строение сплавов и неупорядоченных систем
- •§9. Ближний порядок в сплавах
- •§10. Статистическая теория ближнего порядка
- •§11. Факторы, обусловливающие ближний порядок
- •Глава IX.Строение жидкостей и аморфных тел
- •§1. Особенности твёрдого, жидкого и газообразного состояний вещества
- •§2. Радиальные функции распределения межатомных расстояний и атомной плотности
- •§3. Функции распределения в статистической физике
- •§4.Уравнение для бинарной функции распределения
- •§5. Решение уравнения для бинарной функции распределения
- •§6.Уравнение Перкуса – Йевика
- •Глава X.Элементы физики жидких кристаллов Введение
- •§1.Классификация жидких кристаллов
- •2.Смектики c.
- •Смектики b.
- •Заключение. Фуллерены. Углеродные нити
§12.Теория групп и квантовая механика
Применение теории групп для квантовомеханических исследований связано, главным образом, с определённой симметрией гамильтониана физической задачи. В квантовой механике часто встречаются функции многих переменных . Будем записывать их в виде, где вектор в n- мерном векторном пространстве. Исследуем изменение этих функций при вещественных ортогональных преобразованиях координат. Запишем это преобразование в матричной форме
или просто . В этом выражении - матрица с элементами .
Для матрицы ортогональных преобразований можно записать цепочку равенств: обратная матрица равна своей транспонированной , которой, в свою очередь, равна эрмитово сопряжённая , т.е.
Здесь уместно рассмотреть ещё одну трактовку группы вращений. С одной стороны, унитарные (ортогональные матрицы) рассматриваются как преобразования координат неподвижных векторов (как у нас и записано) при вращениях системы координат, либо как вращение пространства . Иными словами, группа унитарных (ортогональных) матриц с определителем, равным единице, изоморфна не только группе вращений пространства, но и группе вращений системы координат. В силу этого изоморфизма обе группы носят общее название группы вращений. Возвратимся к материалу параграфа.
Функцию можно переписать в новой системе координат. Пусть, например, она описывает барометрическое давление в зависимости от широты и долготы, а матрица описывает вращение системы координат на этой карте. Говоря о функции в новой координатной системе, будем пользоваться обозначением . Поскольку погода, где бы то ни было, не может зависеть от того, вращает ли метеоролог свою координатную систему, должно быть справедливо соотношение
или
.
Отметим, что знак равенства здесь означает одинаковые численные значения рассматриваемой функции в соответствующих точках, но необязательно один и тот же функциональный вид её в разных системах координат. Мы можем формально определить операцию, обратную , введя матрицу обратную , тогда по аналогии, с написанными выше, выражениями, имеем соотношение
.
Отсюда и из верхних соотношений нетрудно получить такую цепочку равенств
.
Совокупность этих выражений как раз и доказывает изоморфность группы вращения пространства группе операций вращения системы координат.
Запишем уравнение Шрёдингера
Оператор Гамильтона H(x) может содержать не только функции переменных, но и соответствующие производные. Пользуясь определениями операторов и , напишем
.
Так как это выражение не содержит никаких предположений относительно оператора Гамильтона , то операторы в этом выражении слева и справа должны быть равны, т.е.
.
Преобразования координат, которые мы называем операциями симметрии, могут оставлять гамильтониан системы совершенно неизменным:
.
Таким образом, из последних двух соотношений получаем
,
т. е. операторы симметрии и гамильтониана коммутируют. Но из квантовой механики известно, коммутирующие операторы имеют один и тот же набор собственных функций. Отсюда следует важность изучения представлений групп для данной задачи: каждому собственному значению энергии мы можем сопоставить некоторое представление группы и установить возможные типы симметрии волновых функций системы, не решая уравнения Шрёдингера.
Для решения задач конденсированного состояния вещества, в частности, для молекул и твёрдых тел так и поступают. Здесь мы не имеем возможности рассмотреть построение неприводимых представлений и их базисов конкретных групп. Однако отдельные примеры такого построения будут рассмотрены в соответствующих разделах. Для решения задач в мире элементарных частиц используются релятивистки - инвариантные уравнения, т.е. уравнения инвариантные относительно преобразований группы Лоренца.
Более подробно теорию групп и её применение для решения физических задач, более подробно можно ознакомиться по литературе приведённой в конце конспекта.