Глава I. Абстрактные группы

§1.Группа

Группой G называют совокупность объектов или операций (элементов группы), обладающих следующими свойствами:

а) для этой совокупности определён закон «умножения», т.е. закон, по которому любым двум элементам A и B совокупности G, взятым в определённом порядке сопоставляется некоторый элемент C этой совокупности, называемый произведением элементов A и B; C=AB;

б) это умножение должно обладать свойством ассоциативности, т. е. должно выполняться равенство (AB)D=A(BD) для любых элементов совокупности. Переместительным свойством это умножение может не обладать; в общем случае . Те группы, в которых умножение обладает переместительным свойством, называются коммутативными или абелевыми группами;

в) среди элементов совокупности имеется единичный элемент, т.е. такой элемент E,что равенство AE=EA=A имеет место для любого элемента A из совокупности;

г) наряду с элементом A в совокупности G всегда имеется элемент F такой, что AF=E. Этот элемент F называется обратным по отношению к элементу A и обозначается

Эти четыре аксиомы и определяют группу; легко видеть, что группа представляет собой совокупность, замкнутую относительно заданного в ней закона умножения.

Нетрудно доказать некоторые следствия на основании этих аксиом:

а) в группе имеется только один единичный элемент;

б) если F- обратный элемент по отношению к A, то элемент A будет обратным по отношению к элементу F;

в) для каждого элемента из совокупности существует только один обратный элемент;

г) если C=AB, то в силу ассоциативности умножения в группе .

Если число элементов в группе, конечно, то группа называется конечной, в противном случае – бесконечной. Число элементов конечной группы называют порядком группы.

Группу называют циклической, если в ней имеется образующий элемент , такой, что его степени пробегают все элементы группы, когда показатель степени h принимает всевозможные целочисленные значения.

Примеры групп:

1.Совокупность всех целых чисел вместе с нулём образует бесконечную группу, если в качестве группового умножения взять сложение. Единичным элементом в этой группе буде нуль. Обратным элементом для числа А будет - А. Эта группа, очевидно, абелева.

2.Совокупность всех рациональных чисел за исключением нуля, образует группу с операцией умножения, совпадающей с обычным умножением. Единичным элементом будет единица. Это так же бесконечная абелева группа. Положительные рациональные числа сами по себе образуют группу. Отрицательные рациональные числа группы не образуют.

3. Совокупность векторов n- мерного линейного пространства образует группу. Групповым умножением является сложение векторов; единичным элементом является нулевой вектор, обратным элементом для вектора a будет вектор –a. Это так же бесконечная абелева группа.

4.Примером неабелевой группы может служить совокупность неособенных матриц n-го порядка(или соответствующих им линейных преобразований в этом же пространстве),которые образуют так называемую общую линейную группу Элементы этой группы зависят от непрерывно меняющихся параметров(элементов матриц).Бесконечные группы, элементы которых завися от непрерывно меняющихся параметров, называются непрерывными. Единичным элементом в этой группе является единичная матрица; обратным элементом соответствуют обратные матрицы. Операция группового умножения совпадает с правилом умножения матриц, которое, как известно, свойством коммутативности не обладает.