§7.Определение структуры кристаллов.

Основные данные о симметрии кристаллов можно получить на основании многих разнообразных факторов. Многие из них, однако, не позволяют точно установить положения атомов в кристаллической решётке и измерить расстояние между ними. Причина этого состоит в том, что атомы в кристаллах расположены настолько близко друг к другу, что их нельзя обнаружить с помощью обычных грубых наблюдений. Видимый свет с длиной волны порядка 5000 не позволяет определить расположение атомов. Излучения, применяемые для определения структур, должны иметь малую длину волны, соизмеримую с межатомными расстояниями. Поскольку расстояния между атомами составляют всего несколько ангстрем, для этой цели подходят рентгеновские лучи.

Формулировка Брэгга условия дифракции рентгеновских лучей на кристалле.

В 1913 г. У.Г. Брэгг и У.Л. Брэгг обнаружили, что макроскопические кристаллы дают чрезвычайно характерные картины отражения рентгеновских лучей. Они обнаружили, что в кристаллических веществах для некоторых чётко определённых длин волн и направлений падения наблюдаются интенсивные максимумы рассеянного излучения (брэгговские максимумы).

У.Л. Брэгг показал, что явление можно объяснить, считая кристалл состоящим из параллельных плоскостей ионов, отстоящих друг от друга на расстоянии d

Условие возникновения острого максимума в интенсивности рассеянного излучения заключается в следующем:1) рентгеновские лучи должны испытывать зеркальное отражение от ионов каждой из плоскостей,2) лучи, отражённые от соседних плоскостей должны интерферировать с усилением. На рис. показаны лучи, испытавшие зеркальное отражение от двух соседних плоскостей. Разность хода двух лучей равна , где - угол падения. Чтобы лучи интерферировали с усилением, разность хода должна составлять целое число длин волн, что приводит к знаменитому условию Вульфа-Брэгга.

Целое число n называют порядком отражения. Для белого рентгеновского излучения наблюдается много различных отражений. Наряду с отражениями более высокого порядка от заданного множества атомных плоскостей необходимо учитывать так же, что существует большое число различных способов разбиения кристалла на плоскости решётки, что приводит к усложнению анализа интерференционной картины.

Условия дифракции рентгеновских лучей на кристалле в формулировке Лауэ

Этот подход отличается тем, что в нём не выделяется никакой конкретный способ разбиения кристалла на атомные плоскости и не используется допущение о зеркальном отражении. Вместо этого Лауэ считает, что кристалл состоит из тождественных микроскопических объектов (групп атомов или ионов), размещённых в узлах решётки Бравэ, причём каждый из них может рассеивать во всех направлениях. Острые максимумы наблюдаются только в тех направлениях и тех длин волн, для которых лучи, рассеянные всеми точками решётки, испытывают интерференцию. Чтобы найти это условие интерференции, рассмотрим два рассеивающих центра, смещённых относительно друг друга на вектор . Пусть от бесконечно удалённого рентгеновского источника вдоль направления падает луч с длиной волны и

волновым вектором . Тогда рассеянный луч этой же длины волны будет наблюдаться в направлении и иметь волновой вектор при условии, что разность хода двух лучей, рассеянных двумя ионами, равна целому числу длин волн. Легко видеть из рисунка, что разность хода лучей можно записать следующим образом:

.

Поэтому условие интерференции принимает вид

,

где m- целое число. После умножения этого равенства на , получаем условие для волновых векторов, падающего и рассеянного лучей

,

где m-целое число.

Если смещение атомов равно вектору решётки Бравэ, то это условие может быть переписано в виде

.

Его можно переписать в эквивалентном виде для всех векторов решётки Бравэ.

Сравнивая это выражение с определением обратной решётки, мы приходим к полученному Лауэ выводу, согласно которому, для интерференции лучей необходимо, чтобы изменение волнового вектора было равно вектору обратной решётки. Теперь нетрудно получить следующее соотношение, учитывая равенство модулей волновых векторов падающего и рассеянного излучениий

,

где – обозначает единичный вектор, а само соотношение говорит о том, что проекция волнового вектора падающего луча на направление вектора обратной решётки должна составлять половину от длины этого вектора. Поэтому волновой вектор падающего луча удовлетворяет условию Лауэ в том и только в том случае, если конец этого вектора лежит в плоскости, которая перпендикулярна отрезку прямой, соединяющему начальную точку в обратном пространстве с точкой обратной решётки, и делит этот отрезок пополам. Такие плоскости в обратном пространстве называют брэгговскими. Фактически эти плоскости образуют зону Бриллюэна. Нетрудно показать эквивалентность формулировок Брэгга и Лауэ.

Для получения лауэграммы монокристаллического образца используется рентгеновское излучение, имеющее сплошной спектр. Размеры монокристаллического образца могут не превышать 1мм. Дифракционная картина состоит из серии пятен (рефлексов). Каждая отражающая плооскость кристалла выбирает из падающего пучка излучение с той длиной волны, которая удовлетворяет закону Вульфа–Брэгга . Получаемая дифракционная картина характеризует симметрию кристалла: если кристалл, имеющий ось симметрии ориентирован так, что эта ось параллельна падающему пучку, то лауэграмма будет обладать этой осью симметриии. На рисунке представлена лауэграмма кристалла кремния, снятая в направлении, близким к [100]. Видно, что лауэграмма почти инвариантна относительно вращения на угол 90 градусов. Эта инвариантность обусловлена тем, что в кремнии с этим направлением совпадает ось симметрии четвёртого порядка.