§10. Эффективная масса электронов

Чтобы выяснить, почему эффективная масса электрона отличается от массы свободного электрона, рассмотрим движение его движение под действием некоторого электрического поля E. В соответствие со вторым законом Ньютона имеем

. (10.1)

Пусть в некотором гипотетическом кристалле атомы расположены далеко друг от друга; тогда частота перехода электрона от одного атома к другому будет мала, так как мало перекрывание волновых функций. При наличии внешнего электрического поля электроны будут чаще переходить от одного атома к другому в направлении поля. Однако сильно ускорить электроны внешним полем не удастся, так как они находятся под действием сильного поля своего атома и число переходов от одного атома к другому возрастёт незначительно. Пскольку ускорение оказывается незначительным, инертная масса, входящая во второй закон Ньютона будет больше массы свободного электрона. И наоборот, если атомы сближаются друг с другом, число электроных переходов от атома к атому возрастает; т.е. при этих условиях электрическое поле может оказывать большее ускоряющее действие, и, следовательно, инертная масса уменьшается. По мере увеличения перекрывания волновых функций инертная масса должна приближаться, в конечном счёте, к массе свободного электрона. Существует много способов математического определения эффективной массы. Рассмотрим один из них. Практическое определение зависимости энергии от волнового вектора является очень сложной задачей. Однако во многих случаях можно попытаться использовать приближённые выражения этой зависимости. Пусть в некоторой точке зоны Бриллюэна энергия имеет минимум или максимум, тогда вблизи этой точки её можно разложить в ряд Тейлора

, (10.2)

где – прямоугольные составляющие волнового вектора. Здесь мы ограничились разложением только до квадратичных членов и учли, что в точке экстремума первые производные обращаются в нуль. Так как энергия скаляр, а k – вектор, то величины суть компоненты тензора второго ранга. Приведём этот тензор к главным осям, и перенесём начало отсчёта энергии в точку экстремума, тогда получим

. (10.3)

Чтобы сделать описание движения электрона максимально похожим на движение свободного электрона, введём тензор обратной эффективной массы

. (10.4)

Компоненты этого тензора в главных осях равны

. (10.5)

Отметим, что тензор обратной эффективной массы имеет размерность масса минус первая степень. Введём квазиимпульс , тогда выражение (9.3) может быть представлено в виде эквивалентном выражениюи свободного электрона

. (10.6)

Вблизи точек , в которых энергия принимает экстремальные значения изоэнергетические поверхности, имеют вид эллипсоидов или сфер. В том случае, если все три главных компонент тензора одинаковы, можно ввести скалярную эффективную массу , положив

.(10.7)

Энергия же тогда равна

. (10.8)

У большинства обычных металлов s – электроны валентных оболочек обладают эффективной массой бдизкой к m. Для справки приведём таблицу эффективных масс некоторых металлов.