Глава II.Описание структуры кристаллов

§1.Общие свойства макроскопических тел

Все окружающие нас тела состоят из атомов или молекул. ”Обычные” молекулы состоят из нескольких атомов или десятков атомов. Мельчайшие же макроскопические видимые тела имеют уже порядка атомов. Такое увеличение атомов приводит в зависимости от их свойств к материальным системам совершенно другого строения, которые и качественно и количественно отличаются от атомов по своим свойствам и законам движения. При увеличении числа атомов или молекул в макроскопических телах возникают новые взаимодействия, которые приводят к полному распаду молекул и образованию новых структурных единиц. Проблема структуры макроскопических тел тесно связана с проблемой агрегатного состояния.

Агрегатные состояния. Согласно классическим представлениям, каждое материальное тело принадлежит к одному из трёх агрегатных состояний вещества: газообразное, жидкое или твёрдое.

Наиболее проста структура газов. Согласно молекулярно-кинетической теории Максвелла-Больцмана молекулы в газах находятся на относительно больших расстояниях друг от друга, а взаимодействие между ними и стенками сосуда осуществляется только в результате столкновений. При этом они ведут себя как упругие шары. Энергия их складывается из энергии поступательного и вращательного движений и определяет с температурой. Движение происходит хаотически и поэтому газ занимает объём сосуда.

Жидкости также принимают форму сосуда. И хотя, силы взаимодействия молекул жидкости более значительны, чем в газах тепловое движение не даёт возможности удержаться молекулам в равновесном положении. Поэтому молекулы жидкости относительно легко могут менять своё пространственное положение. Однако, для изменения расстояния между частицами требуются значительные усилия, что является признаком слабой сжимаемости жидкости. Свойства жидкостей не зависят от направления, т.е. жидкости изотропны.

Твёрдые тела имеют как определённую форму, так и определённый объём, которые могут изменяться только в результате приложения больших сил. Эти признаки пока никак не связаны с определённой внутренней структурой. Однако совремённые исследования показывают, что твёрдые тела по своему строению могут весьма сильно отличаться друг от друга.

Важнейшую группу твёрдых тел образуют кристаллы. В идеальных кристаллах атомы или молекулы совершают колебания около, расположенных в строгом порядке равновесных положений. В кристаллах атомы и молекулы размещаются очень тесно, и вследствие этого взаимодействия между ними очень сильны. Поэтому их смещения из положения равновесия малы, что обеспечивает определённость формы и объёма кристалла, а также свойство анизотропии. Рассмотрим теперь подгруппы, составляющие пространственные группы.

§2. Точечные группы.

Всякая подгруппа полной ортогональной группы называется точечной. Точечные группы, не содержащие зеркальных поворотов, называются группами первого рода. Все остальные точечные группы - группами второго рода. Перечислим некоторые точечные группы, необходимые для установления свойств симметрии кристаллов. Рассмотрим сначала группу вращений, подгруппами которой являющеются точечные группы.

Если поворот вокруг некоторой прямой C содержится в данной группе G, то эта прямая носит название оси группы G.

Пусть точечная группа первого рода содержит только одну ось, а число элементов этой группы равно n, то её обозначают через . Все элементы этой группы представляют собой повороты вокруг оси С. При возведении любого элемента группы в n-ю. степень получается единичный элемент. Следовательно, группа циклическая. Группа может содержать только повороты вокруг оси C на углы

Число этих поворотов равно n, поэтому все они входят в группу и исчерпывают её. Элементами этой группы являются повороты на угол , а ось называется осью n-го порядка. Ось группы называют двусторонней осью, если повороты и являются взаимно - сопряжёнными. В противном случае ось называется односторонней. Для того чтобы отличать повороты и , целесообразно рассматривать ось как направленную прямую, т.е. различать на ней положительное и отрицательное направления. Для того чтобы ось была двусторонней, необходимо, чтобы группа содержала поворот на вокруг какой - либо оси перпендикулярной к оси или чтобы группа содержала зеркальный поворот. Так как - абелева группа, то все её неприводимые представления первого порядка. Они определяются числами

,

где есть l- й корень уравнения .

Перечислим точечные группы первого рода:

1.После группы , простой группой так же является группа . Эта группа состоит из всех поворотов, совмещающих правильную n-угольную призму саму с собой. Она имеет одну ось n-го порядка и n перпендикулярных к ней осей второго порядка. Эти оси обозначают через . Угол между двумя соседними осями равен . Таким образом, группа содержит единичный элемент, (n-1) поворот вокруг оси на углы кратные , и n поворотов на каждый вокруг осей второго порядка, т. е. всего 2n элементов. Благодаря наличию осей второго порядка ось в группе является двусторонней. Поэтому повороты и взаимно сопряжены. В зависимости от того чётно n или нечётно группа разбивается на разное число классов. Именно, если n- чётно, число классов равно и, наоборот, для нечётного значения n, число классов равно .

2 .Группа T (тетраэдра) состоит из всех поворотов, совмещающих тетраэдр сам с собой. Она содержит четыре оси третьего порядка и три оси второго порядка. Оси третьего порядка, проходящие через вершины тетраэдра, обозначают так . Оси второго порядка соединяют середины непересекающихся рёбер. Введём для этих осей обозначения и . Таким образом, группа тетраэдра T, кроме единичного элемента содержит четыре поворота на угол , четыре поворота на , и три поворота на угол, т.е. всего двенадцать элементов. Оси являются двусторонними. Все они эквивалентны друг другу, так как повороты вокруг осей переводят ось в оси соответственно. Оси также эквивалентны, так как они переходят друг в друга при поворотах вокруг осей . Отсюда следует, чтодвенадцать элементов группы следующим образом разбиваются на четыре класса сопряжённых элементов:

.

3 .Группа O (октаэдра) состоит из всех поворотов, совмещающих куб сам с собой. Она содержит три оси четвёртого порядка , соединяющие центры противоположных граней. Положительные направления на них выбраны так, чтобы они образовывали правовинтовую систему. Четыре оси третьего порядка (i=1,2,3,4) - они проходят через противоположные вершины (диагонали куба). Шесть осей второго порядка , соединяющих середины противоположных рёбер. Группа куба имеет 24 элемента. Они разбиваются на пять классов сопряжённых элементов:

.

4.Группа Y (икосаэдра) состоит из всех поворотов, совмещающих самого с собой пентагональный додекаэдр, т.е. двенадцатигранник с правильными пятиугольными гранями. Число рёбер этого многогранника равно 30,а число вершин-20. Группа состоит из шести осей пятого порядка, соединяющих середины противоположных граней, 10 осей третьего порядка, соединяющих противоположные вершины, и 15 осей второго порядка, соединяющих середины противоположных рёбер. Всего группа состоит из 60 элементов, которые распадаются на пять классов сопряжённых элементов.

Точечные группы второго рода.

1.Группа состоит из степеней зеркального поворота . Она содержит 2n элементов: . Чётные степени образуют подгруппу, совпадающую с группой . является циклической группой.

2.Группа состоит из поворотов и зеркальных поворотов вокруг фиксированной оси на все углы кратные углу . Она содержит, таким образом, 2n элементов:

и .

Здесь означает отражение в горизонтальной плоскости, т. е. плоскости, перпендикулярной оси . Группа коммутативна. Каждый её элемент образует класс, а все представления одномерны.

3. Группа получается из группы T путём прибавления инверсии и произведений инверсии на все элементы группы T. Общее число элементов группы равно 24.

4.Группа есть группа симметрии куба. Она состоит из 24-хэлементов группы O с добавлением инверсии и произведения её на все элементы O. Таким образом, группа содержит 48 элементов. Они распределяются между десятью классами сопряжённых элементов.

Конечно, перечисленные выше, точечные группы второго рода полностью не исчерпываются. При необходимости для ознакомления с более полным их списком следует обратиться к литературе, указанной в библиографии.

Подгруппа трансляций. Как уже упоминалось трансляцию можно мыслить просто как вектор a, а группу трансляций - как группу векторов с векторным сложением в качестве группового действия.