§2.Сдвиг по группе

При исследовании общих свойств группы несущественна конкретизация её элементов. Обозначим элементы некоторыми символами, для которых задан закон умножения. Тем самым мы получаем так называемую абстрактную группу.

Пусть группа G состоит из m элементов . Умножим, справа каждый из элементов группы на один и тот же элемент , или, как говорят, произведём правый сдвиг по группе, тогда получим последовательность

Так как число элементов в нашей последовательности равно порядку группы, то можно утверждать, что каждый из элементов группы, в силу замкнутости операции умножения, может содержаться в последовательности только по одному разу. Фактически последовательность будет представлять группу, но с изменённым порядком cледования элементов группы по сравнению с их первоначальным порядком записи. Таким же свойством обладает последовательность элементов левого сдвига

.

§3.Подгруппа

Часть элементов группы G,которая сама по себе образует группу с тем же самым законом умножения, называют подгруппой группы G. Оставшаяся часть группы не может образовать группы, так как она не содержит, например, единичного элемента.

Подгруппы конечных групп обладают одним замечательным свойством. Это свойство описывается теоремой Лагранжа: порядок подгруппы конечной группы является делителем порядка группы. Т.е. пусть m- порядок группы, а n-порядок некоторой подгруппы H, тогда по теореме Лагранжа имеет место соотношение k=m/n.Число k называется индексом подгруппы H для группы G. Из этой теоремы следует, например, что группа, порядок которой есть простое число, не имеет никаких подгрупп кроме тривиальных. Тривиальными подгруппами являются сама группа G и подгруппа, состоящая из единичного элемента E.

§4.Сопряжённые элементы и класс

Элементы и группы G называются сопряжёнными, если существует такой элемент g,что

Свойство сопряжения является взаимным и транзитивным: если сопряжено , то и сопряжено ; если сопряжено , а сопряжено , то сопряжено . Следовательно, сопряжённые элементы в группе образуют совокупности. Эти совокупности называют классами, и каждый элемент встречается только в одном классе.

Число элементов в классе называют порядком класса. Пусть в выражении элементы пробегают все элементы группы. Тогда получим все элементы, входящие в класс . Каждый элемент этого класса встречается в совокупности одинаковое число раз, . Все элементы одного класса имеют один и тот же порядок. В абелевых группах каждый класс состоит из одного элемента. Порядком элемента называется наименьший показатель степени, в которую нужно возвести данный элемент, чтобы получить единичный. Пусть h-порядок элемента , тогда . Нетрудно показать, что совокупность произведений элементов двух классов состоит их целых классов.

Условно это может быть записано в таком виде:

где - совокупность элементов i - го класса, а - целые числа.

§5.Инвариантная подгруппа

Пусть H- подгруппа группы G и . Составим совокупность (элемент фиксирован). Эта совокупность так же является группой, так как для неё выполняются все групповые аксиомы. Такую подгруппу называют подобной подгруппе H. Если то подобная подгруппа, очевидно, будет совпадать с H .Однако если то в общем случае мы получим некоторую подгруппу группы G, отличную от H. В тех случаях, когда подгруппа H совпадает со всеми своими подобными подгруппами, она называется инвариантной подгруппой или нормальным делителем. Инвариантную подгруппу обычно обозначают буквой N. Из определения следует, что если инвариантная подгруппа содержит элемент g группы G,то вместе с ним она содержит и весь класс, к которому принадлежит элемент g. Поэтому говорят, что инвариантная подгруппа состоит из целых классов сопряжённых элементов.

Легко проверить, что для инвариантной подгруппы сопряжённые совокупности слева справа совпадают. Действительно

так как

Уже отмечали, что всякая группа имеет две тривиальные инвариантные подгруппы: первая совпадает с самой группой, а вторая состоит из единичного элемента группы. Группы, не имеющие инвариантных подгрупп, отличных от тривиальных называются простыми.