§4.Положение уровня Ферми и концентрация носителей в собственных полупроводниках

В собственном полупроводнике число электронов проводимости равно числу дырок, и уровень Ферми определяется из условия n=p. Тогда

. (6.4.1)

Отсюда следует, что если , то уровень Ферми находится точно в середине запрещённой зоны, однако обычно , и уровень Ферми слегка поднимается с температурой и наоборот, если . Однако, в большинстве случаев это смещение незначительно и им можно пренебречь и считать, что уровень Ферми в собственных полупроводниках располагается всегда в середине запрещённой зоны.

Подставляя из (6.4.1) в (6.3.8) (исключив из него ) и (6.3.10), получим

.(6.4.2)

Из этой формулы видно, что равновесная концентрация носителей заряда в собственном полупроводнике определяется шириной запрещённой зоны и температурой полупроводника. Причём эта зависимость очень резкая. Так, уменьшение ширины с 1.12 эВ (Si) до 0.08 эВ (серое олово) приводит при комнатной температуре к увеличению n на девять порядков, а увеличение температуры германия со 100 K до 600 K повышает n на 17 порядков. В кристалле с широкой запрещённой зоной ~ 5эВ термическое возбуждение практически вообще не создаёт носителей. Это обстоятельство объясняет качественное различие между полупроводниками и диэлектриками и тот факт, что материалы, у которых ширины запрещённых зон отличаются в два или три раза, могут иметь совершенно разные электрические свойства.

§5. Положение уровня Ферми и концентрация носителей в примесных полупроводниках.

Определим теперь положение уровня Ферми в полупроводнике, содержащем в полосе запрещённых энергий уровни примесных атомов. Эти примесные атомы образуют в кристалле донорные уровни с энергией , расположенные под дном зоны проводимости, причём . В таком полупроводнике электроны в зоне проводимости появятся по двум причинам: за счёт их переброски с донорных уровней и за счёт переброски из валентной зоны. Пусть число электронов в зоне проводимости, а число дырок в валентной зоне, и, тогда обозначив, через число однократно ионизованных атомов примеси можно записать условие электронейтральности полупроводника

. (6.5.1)

Обозначим через число электронов на примесных атомах при абсолютном нуле температуры, тогда при её произвольном значении T на них останется согласно (8.6) электронов

(6.5.2)

Следовательно, число электронов, перешедших в зону проводимости, обозначенное ранее, нами как будет равно

. (6.5.3)

Подставив (3.8) (с учётом равенства ) (6.3.9) и (6.5.3) в (6.5.1), получим трансцендентное уравнение, определяющее химический потенциал (уровень Ферми)

,(5.5.4)

Если температура недостаточна для переброса электронов из валентной зоны в зону проводимости, т.е.

,

То равенство (5.4) заменяется более простым уравнением

. (6.5.5)

Это уравнение квадратично относительно . Решая его, находим

. (6.5.6)

В области низких температур, когда второе слагаемое под корнем значительно больше единицы, имеем

. (6.5.7)

Следовательно, при абсолютном нуле температуры уровень химического потенциала (Ферми) проходит посередине между дном зоны проводимости и донорными уровнями. При возрастании температуры уровень химического потенциала вначале немного поднимается, а затем с ростом T значение корня становится меньше единицы и уровень химического потенциала опускается. Когда температура возрастает настолько, что выполняется неравенство

. (6.5.8)

Квадратный корень в (5.7) можно разложить в ряд и в первом приближении получить

. (6.5.9)

Теперь отсюда нетрудно получить, логарифмируя, обе части (6.5.9) такое неравенство , которое свидетельствует о том, что уровень химического потенциала в этих условиях опускается ниже донорных уровней и все донорные атомы ионизованы (см. рис. а).

Аналогичным образом можно исследовать положение химического потенциала в полупроводнике p – типа. В полупроводнике, содержащем акцепторных уровней в положении , т.е. на расстоянии от потолка валентной зоны, в области низких температур, когда проводимость обусловлена только образованием дырок в валентной зоне

. (6.5.10)

Следовательно, при абсолютном нуле температуры уровень химического потенциала проходит посередине между акцепторными уровнями и потолком валентной зоны. При повышении температуры роль переходов электронов из валентной зоны возрастает, а переходы электронов на акцепторные уровни делаются менее существенными, так как последние почти заполнены.

Наконец при температурах, соответствующих полному заполнению акцепторных уровней электронами, единственным механизмом увеличения проводимости при увеличении температуры будет переход электронов из валентной зоны в зону проводимости. В этом случае химический потенциал (5.10) будет совпадать с химическим потенциалом чистого полупроводника (4.1). Всё сказанное в этом параграфе о положении химического потенциала в акцепторных полупроводниках показано на рисунке б.