Решение

Рис. 1

Так как тело относительно клина покоится, а клин движется в горизонтальном направлении с ускорением а, то и тело движется вместе с клином с тем же ускорением в горизонтальном направлении. Согласно второму закону Ньютона:

ma = mg + N (1).

Здесь N – вся сила реакции клина, поскольку трение по условию отсутствует. Кроме силы тяжести mg и нормальной компоненты реакции опоры N на тело больше никакие силы не действуют. Выберем систему координат XOY с горизонтально направленной осью ОХ (см. рис.1). Проецируя (1) на ОХ и OY, получим:

ma =Nsin

0= Ncos – mg

Исключая N из этой системы уравнений, получим:

ma = ma tg ,

или:

a = g tg 

Задача 4

На краю горизонтального диска радиуса R находится небольшое тело. Коэффициент трения между телом и диском равен k. Диск вращается с угловой скоростью . При каком значении  тело соскользнет с диска?

Решение

Так как тело движется вместе с диском, то его траектория является окружностью радиуса R. Поскольку угловая скорость  = const, то и скорость тела

 = R =const

и, следовательно, его тангенциальное ускорение

a_ = d/dt = 0.

Таким образом, ускорение a тела равно нормальному ускорению, которое всегда направлено к центру диска и равно

Рассмотрим силы, действующие на тело. Их две: сила тяжести mg и сила реакции диска R, которую мы, как всегда, представим в виде векторной суммы её нормальной компоненты и силы трения:

R = N + F_тр.

Согласно второму закону Ньютона:

ma = mg + R.

Спроецировав это уравнение на ось вращения, получим:

N – mg =0,

а спроецировав на направление ускорения тела, получим:

Рис. 1

ma_n = F_тр.

То есть, сила трения направлена к оси вращения диска и ее модуль:

F_тр = m²R.

Так как тело покоится относительно диска, то F_тр – сила трения покоя и потому:

F_тр < kN.

Но N = mg, следовательно:

m²R< kmg,

или:

²< kg/R.

Если это условие выполняется, то тело по диску не скользит, если же нарушается, то начинается скольжение тела по диску. Итак, тело соскользнет с диска, если:

² > kg/R.

Задача 5

Через невесомый блок, прикреплённый к потолку, перекинута невесомая нерастяжимая верёвка. К одному концу верёвки прикреплён груз массы m, а за другой конец ухватилась обезьяна такой же массы. Вначале система находится в покое, но в некоторый момент обезьяна начинает карабкаться вверх по верёвке. На какое расстояние относительно земли переместятся обезьяна и уравновешивающий её груз, если обезьяна переместилась по верёвке на расстояние L?

Решение

На обезьяну действуют две силы: тяжести и сила реакции верёвки. То же самое относится и к грузу. Если обозначить a₁ и a₂ ускорения обезьяны и, соответственно, груза, то для них можно записать уравнения второго закона Ньютона:

ma₁ = T + mg,

ma₂ = T + mg.

Здесь учтено то обстоятельство, что невесомая верёвка действует с одинаковыми силами на соединённые с нею тела. Из написанных уравнений следует, что ускорения обезьяны и груза одинаковы. Следовательно, скорости и перемещения их также одинаковы. Пусть груз поднялся на высоту h. При этом противоположный конец верёвки опустился на высоту h. Обезьяна же, как и груз, поднялась относительно земли на ту же высоту h. Следовательно, она оказалась на расстоянии 2h от своего конца верёвки. Но согласно условию задачи, это расстояние равно L. Тем самым:

L =2h.

Откуда:

h =L/2.