Задача 6
На стол, из расположенного над ним сосуда с песком, равномерно высыпается песок. Масса песка, высыпающегося из сосуда в единицу времени равна . Расстояние от отверстия в сосуде до стола равно L. Скорость песка на выходе из сосуда равна нулю. Как зависит от времени сила, действующая на стол со стороны песка?
Решение
Песчинки свободно падают, т.е. движутся с ускорением свободного падения. Поэтому они достигают стола за время:
,
и падают на стол со скоростью:
.
За время dt на стол упадёт масса песка dm = dt и передаст столу импульс:
dp = Vdm =Vdt.
Рис. 1
.
Если подставить сюда V=g, то найдём:
Fпад = g.
Произведение представляет собой массу песка, высыпающегося за – время падения песка от сосуда до стола. Иными словами, равно массе струйки песка, находящейся между сосудом и столом.
Кроме силы Fпад на стол также действует сила тяжести Fлеж со стороны песка уже лежащего на столе:
Здесь мы отсчитываем время с момента начала движения песка (с момента открытия отверстия в сосуде). Поэтому, пока песок не долетел до стола, никакая сила на стол не действует.
Окончательно находим:
График, иллюстрирующий наш результат, изображён на Рис. 2.
Рис. 2
Задача 7
Двигатель водомётного катера забирает ежесекундно из реки воду массой и выбрасывает её с кормы со скоростью U относительно катера. Найти скорость V(t) катера как функцию времени. Масса катера равна М.
Решение
Пусть скорость катера в данный момент времени равна V(t). За время dt катер заберёт из реки воду массой dt, начальная скорость которой равна нулю. За это же время катер выбросит такую же массу воды, но скорость этой выброшенной воды:
V' = V(t) + U.
Скорость катера после выбрасывания воды также станет иной, обозначим её V(t+dt).
Система «вода + катер» замкнутая. Поэтому можно воспользоваться законом сохранения импульса:
M V(t) = M V(t+dt) + dt( V(t) +U),
Откуда, после деления на dt получаем:
.
Спроецируем это уравнение на направление движения катера:
(1).
Прежде чем решать полученное уравнение, проанализируем его.
Как видим, пока скорость катера V<U, производная dV/dt > 0, т.е. скорость катера растёт. Однако, чем больше скорость катера, тем меньше разность U – V, и тем меньше производная dV/dt. И когда скорость катера сделается равной U, производная dV/dt станет равной нулю. Это означает, что рост скорости катера прекратился. Таким образом, скорость катера растёт до тех пор, пока она не сравняется со скоростью U.
Найдём теперь решение уравнения (1). Для этого разделим переменные, умножив обе части уравнения на dt/M(V–U):
.
Взяв интеграл от обеих частей этого уравнения, получим:
,
где С' – постоянная интегрирования.
Потенцируя полученное соотношение, найдём:
.
Константу С найдём, полагая начальную скорость катера равной нулю:
V(0) = 0,
откуда
C = – U.
Окончательно находим:
.
Как видим, скорость катера возрастает от нуля до U.
Обозначим
= M/.
Рис. 1
.
Полученное соотношение показывает, что за время порядка скорость катера практически достигает своего предельного значения U (см. Рис. 1).