Решение
На рис. 1 изображены силы, действующие на каждое из тел. Т.к. нить предполагается нерастяжимой, то тела движутся с одинаковыми скоростями и, следовательно, с одинаковыми ускорениями. Составим уравнения второго закона Ньютона для каждого тела:
m1a = F + T1 + Fтр1+ N1 + m1g (1)
m2a = T2 + Fтр2 + N2 + m2g (2)
Рис. 1
Выберем систему координат XOY так, чтобы ось ОХ была направлена горизонтально, а ось OY – вертикально. Записывая (1) и (2) в проекциях на ОХ и OY, получаем:
m1ax = F – T1 – Fтр1, (3),
0 =N1 – m1g (4),
m2a = T2 – Fтр2, (5),
0 =N2 – m2g (6).
Мы получили четыре уравнения для семи неизвестных: ах, T1, Т2, N1, N2, Fтр1, Fтр2. Для того, чтобы эта система имела единственное решение, необходимы еще три уравнения. Первое из этих трех уравнений получим, если помимо нерастяжимости нити учтем еще и её невесомость. Так как нить нерастяжима, то ее ускорение равно ускорению тел, которые она соединяет. Тогда уравнение второго закона Ньютона для нити имеет вид:
mнитиax = T1 – T2,
где mнити – масса нити, T1 и T2 – силы, приложенные к нити со стороны первого и второго тел соответственно. Т.к. нить невесома, то mнити= 0 и T1 – T2 = 0, т.е.
T1 = T2.
Иными словами нерастяжимая, невесомая нить действует с одинаковыми силами на тела, которые она соединяет. Причем, силы эти направлены вдоль нити. В дальнейшем мы этот результат будем постоянно использовать и не делать различия между T1 и T2, обозначая их одной буквой, скажем, Т. Равенство T1 = T2 одно из трех недостающих уравнений. Нам нужны еще два уравнения. Для их получения рассмотрим силы трения. Возможны, очевидно, два случая.
Случай 1. Тела движутся, поэтому: Fтр1 = kN1, Fтр1 = kN1.
Тогда, с учетом этих соотношений, имеем вместо (3) – (6) следующую систему уравнений:
m1ax = F – T – km1g (7),
m2ax = T – km2g (8).
Складывая эти уравнения, получим:
(m1+ m2)ax = F – k(m1+ m2)g,
откуда находим ускорение:
(9).
Затем из второго уравнения этой системы найдем Т:
T =m2ax + km2g
подставляя сюда ах из (9), получим:
(10).
Проанализируем полученное выражение для ах. Это следует делать всегда, но особенно в тех случаях, когда результат не является знакопостоянной величиной (т.е. в нём где–то содержится разность некоторых величин). Так как результат для ах получен в предположении, что тела движутся, то очевидно, ах должно быть положительной величиной :
,
откуда:
F > kg (m1+ m2).
Если же это неравенство нарушается, т.е.
F < kg (m1+ m2),
то тела, очевидно, покоятся. Рассмотрим этот случай.
Случай 2. Тела покоятся, поэтому ах = 0. Из (3) – (6) получаем тогда:
0 = F – T – Fтр1,
0 = T – Fтр2,
Если F < km1g то в этом случае сила F уравновешена одной лишь силой трения покоя Fтр1покоя < km1g. Но тогда
T = F – Fтр1 = 0,
Fтр2 = 0.
Если увеличивать F, то будет возрастать и сила трения Fтр1покоя, до тех пор, пока она не станет равной km1g. Поэтому если:
kg (m1+ m2) > F > km1g,
то Fтр1= km1g и тогда находим:
T = F – km1g < km2g,
Fтр2 =Т< km2g.