Решение

В процессе движения тела скорость его всё время остаётся перпендикулярной нити, так как нить нерастяжима. Это означает, что сила натяжения нити не совершает работы. Как следствие этого механическая энергия тела остаётся постоянной, так как только сила тяжести (она консервативна) совершает работу над телом.

Рис. 1

Рассмотрим теперь момент импульса тела, выбрав в качестве полюса, относительно которого определяем момент, точку подвеса О нити. Вектор момента импульса перпендикулярен плоскости, образуемой нитью и вектором скорости. Поскольку тело движется, эта плоскость непрерывно изменяет своё положение, следовательно, изменяется и вектор момента импульса. Так что вектор момента импульса тела не сохраняется. Однако, как нетрудно убедиться, проекция вектора момента импульса на вертикальное направление, то есть момент импульса относительно нити, будет сохраняться. Для этого рассмотрим момент сил, приложенных к телу относительно точки О. Этих сил две – сила реакции нити и сила тяжести. Но сила натяжения нити направлена вдоль нити, поэтому её момент равен нулю.

Что касается момента силы тяжести M_тяж = [r,mg], то он перпендикулярен как радиус–вектору r (направлению нити), так и вектору g. Но это означает, что момент силы тяжести всё время направлен горизонтально. Если мы запишем уравнение моментов относительно полюса О:

,

и спроецируем его на вертикальное направление (ось OZ), то получим:

,

т.е. L_z = const.

В начальный момент:

L_z=L₀sin = m₀l sin.

Примем, что в точке, где скорость тела вновь направлена горизонтально, нить отклонена на угол . Но тогда точно так же:

L_z=L₁sin = m₁l sin.

Здесь v1 – скорость тела в новом положении. Закон сохранения момента импульса тогда запишется следующим образом:

₀ sin = ₁ sin.

Запишем теперь уравнение, выражающее закон сохранения энергии:

.

Исключив отсюда скорость ₁ с помощью закона сохранения момента импульса, получим:

Задача 5

По гладкой горизонтальной плоскости движется гантелька, состоящая из двух небольших шариков массой m и М, соединённых невесомым стержнем длины l. Шарик массы М испытывает абсолютно упругий удар о неподвижную стенку, поверхность которой перпендикулярна скорости шара. Найти скорости шариков после удара, считая, что до удара они двигались с одинаковыми скоростями, в направлении перпендикулярном стержню.

Решение

Поскольку удар упругий, то энергия гантельки сохраняется. Кроме того, сохраняется момент импульса гантельки относительно точки удара О со стенкой, поскольку момент силы реакции N относительно её точки приложения равен нулю.

Запишем эти уравнения:

Здесь мы учли, что радиус-вектор шарика, испытавшего удар, коллинеарен вектору его скорости, поэтому момент импульса этого шарика относительно точки удара равен нулю.

Рис. 1

Согласно второму из получившихся уравнений видим, что ₁ = ₀, тем самым ₂ = – ₀. Таким образом, первый шар сразу после удара не изменил своей скорости, а второй начал двигаться назад с прежней по величине скоростью. Это означает, что импульс этой гантельки изменился в результате удара:

Причина изменения импульса гантельки – импульс, переданный гантельке силой реакции стенки.