Задача 1

Докажите, что при поступательном движении твёрдого тела все его точки движутся с одинаковыми скоростями.

Решение

Рис. 1

Выберем в теле произвольным образом две точки. Пусть это точки А и В. Обозначим их радиус–векторы r_A и r_В, а вектор, соединяющий их, обозначим как R. Тогда:

r_В = r_A + R.

Дифференцируя это равенство по времени (дифференцирование по времени обозначаем точкой), получим:

.

Но вектор R – постоянный вектор, так как, ни его длина, ни направление не изменяются. Действительно, расстояния между точками твёрдого тела неизменны, поэтому длина вектора R также неизменна. Кроме того, тело движется поступательно, поэтому направление вектора R также не изменяется. Поэтому производная вектора R равна нулю, тем самым:

Т.е. скорости выбранных нами точек одинаковы. Но в силу произвольности выбора этих точек, все точки тела имеют такие же скорости.

Задача 2

Докажите, что кинетическую энергию твёрдого тела в самом общем случае можно представить в виде:

,

где V_ци – скорость центра масс твердого тела, I_С – момент инерции твёрдого тела относительно оси вращения, проходящей через центр масс твердого тела,  – угловая скорость вращения твёрдого тела.

Решение

Согласно теореме Кёнига кинетическую энергию твёрдого тела можно представить как:

Здесь M – масса тела, V_ц – скорость его центра инерции, Т₀ – кинетическая энергия тела в системе отсчета, движущейся со скоростью центра инерции. Но в этой системе отсчёта центр инерции неподвижен. Следовательно, движение твёрдого тела в этой системе отсчёта есть вращение вокруг оси, проходящей через центр инерции тела, и кинетическая энергия такого движения равна:

где I_С – момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через центр инерции тела, а  – угловая скорость вращения твёрдого тела.

Тем самым утверждение доказано:

.

Задача 3

Докажите, что кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, связана с вектором момента импульса L этого тела и вектором угловой скорости  его вращения следующим образом:

Полюс, относительно которого определяется момент импульса, выбран на оси вращения тела.

Решение

Вектор момента импульса твердого тела определяется как сумма моментов "точек" этого тела:

Рис. 1

Преобразуем двойное векторное произведение под знаком суммы с помощью известного тождества:

[a,[b,c]] = b(a,c) – c(a,b).

Эта формула показывает, что направления векторов L и , вообще говоря, не совпадают, поскольку в самом общем случае сумма представляет собой вектор, направление которого не обязано совпадать с направлением вектора угловой скорости.

Умножим теперь обе части полученного выражения скалярно на вектор :

Здесь I_z – момент инерции тела относительно оси вращения OZ.

Поделив обе части полученного соотношения на 2, придём к искомому результату:

Поскольку Т_вращ > 0, то угол между вектором момента импульса L и вектором угловой скорости  может быть только острым. Полученный результат можно записать несколько по-иному, имея в виду, что :

Здесь L_z – проекция момента импульса тела на направление оси вращения OZ. Сократив обе части полученного равенства на /2, получим:

L_z = I_z.

Как видим, момент импульса тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость вращения вокруг этой оси.