Задача 2

Брусок А движется с ускорением а по горизонтальной поверхности. На бруске А лежит другой брусок B, высота которого h, а длина – l. (рис. 1). Брусок В упирается в небольшой выступ на поверхности бруска А. При каких значениях ускорения а брусок В не будет опрокидываться? Решить задачу как с точки зрения неподвижного наблюдателя К, так и с точки зрения наблюдателя К', движущегося вместе с бруском А.

Решение

Рис. 1

Рассмотрим сначала решение задачи в неинерциальной системе отсчета, связанной с бруском А (с точки зрения наблюдателя К').

На брусок В действуют сила тяжести mg, сила со стороны уступа Q, и сила реакции N со стороны горизонтальной поверхности бруска А, сила инерции – та. Предположим, что брусок В не опрокидывается тогда в выбранной системе отсчета он покоится.

Условия равновесия бруска состоят в равенстве нулю суммы сил, действующих на брусок, и равенстве нулю суммы моментов этих сил. Первое из этих двух условий в проекциях на координатные оси (см. рис.2) дает систему уравнений:

Рис. 2

Для записи второго условия необходимо указать точки приложения сил, действующих на брусок. Точка приложения силы тяжести находится в центре инерции бруска. В этой же точке приложена сила инерции – та. Это утверждение основано на том, что в данном случае поле сил инерции полностью эквивалентно полю сил тяжести (оба поля однородны, силы в обоих полях пропорциональны массе тела). Поэтому и точки приложения соответствующих сил совпадают. Пусть точка приложения силы N находится на расстоянии х от середины бруска (рис.2).Условие равенства нулю суммы моментов справедливо относительно любой оси, если сумма сил равна нулю (что выполняется в нашем случае). Удобнее всего выбрать ось, проходящую через центр инерции бруска, перпендикулярно плоскости чертежа. (Почему эта ось наиболее удобна? Объясните сами.). При таком выборе оси, мы получаем следующее уравнение моментов:

Из выписанных уравнений находим х:

Полученный результат показывает, что х растет с ростом а, т.е. точка приложения силы N смещается в сторону выступа (влево на рис.2). Но, поскольку х < l/2, т.к. точка приложения силы N не может располагаться за пределами бруска В, то получаем:

Окончательно получаем:

.

Рассмотрим теперь решение задачи в инерциальной системе отсчета (с точки зрения неподвижного наблюдателя К). По отношению к наблюдателю К, брусок В движется поступательно в горизонтальном направлении с ускорением а под действием сил Q, N и mg (см. рис. 1). Поэтому:

ma = Q + mg + N

Проецируя это уравнение на координатные оси, получаем:

Учтем теперь, что движение бруска В поступательное. Поэтому можно утверждать, что относительно горизонтальной оси, проходящей через центр инерции бруска, момент импульса бруска L₀ равен нулю (брусок не вращается). Можно выбрать также любую другую ось, но тогда уравнение моментов усложнится. Попробуйте решить задачу, выбрав ось, проходящую вдоль выступа. Учтите только, что момент импульса твердого тела, вообще говоря, определяется теоремой Кёнига (см. введение к разделу 6):

L = L₀ + [R,P]

Поскольку dL₀/dt = М, где М – момент сил, действующих на брусок относительно указанной оси, а L₀ = 0, то dL₀/dt = 0 и, соответственно, М = 0. Момент сил, действующих на брусок В относительно данной оси определяется лишь силами Q и N, т.к. сила тяжести приложена к оси и поэтому ее момент равен нулю. Поэтому для момента М имеем:

Так как М = 0, то для х получаем:

Поскольку х < l/2, то вновь получаем прежнее условие, при котором брусок В не отрывается от опоры:

.

Полученному ответу можно дать наглядную геометрическую интерпретацию. А именно, брусок В оторвется от опоры (это произойдет, когда ), если равнодействующая сил Q и N будет проходить ниже центра тяжести бруска В. Убедитесь в этом самостоятельно. Учтите только, что при отрыве бруска В сила N приложена к краю бруска, который соприкасается с выступом.