Задача 2

На наклонной плоскости, образующей угол  с горизонтом находится тело массы m₁, соединенное невесомой нерастяжимой нитью с телом массы m₂. Нить перекинута через невесомый блок. Трения в блоке нет. Коэффициент трения между телом и плоскостью равен k. Найти ускорение, с которым движутся тела.

Решение

Изобразим силы, действующие на тела, предполагая, что m₁ опускается, а m₂ поднимается (рис.1). Тогда сила трения направлена навстречу движению тела m₁, т.е. вверх вдоль плоскости.

Так как нить невесома и нерастяжима, ускорения обоих тел одинаковы, а сила натяжения нити одинакова вдоль всей длины нити (см. предыдущую задачу).

Вводя систему координат X₁OY₁ с осью ОХ₁ направленной вниз параллельно плоскости, напишем уравнения второго закона Ньютона для m₁ в проекциях на оси ОХ₁ и OY₁:

m₁a = m₁gsin  – T – F_тр (1),

0 = m₁g cos  – N (2).

Для второго тела удобно выбрать другую систему координат, такую, что ось OX₂ направлена горизонтально, а ось OY₂ направлена вертикально вверх.

Рис. 1

Тогда для т₂а в проекции на ось OY₂:

m₂a = T – m₂g (3).

Уравнения (1) – (3) составляют систему трех уравнений для четырех неизвестных a, T, N, F_тр. Для получения однозначного решения требуется еще одно уравнение. Т.к. мы предполагаем, что тела движутся, то сила трения связана с нормальной компонентой силы реакции соотношением:

F_тр = kN.

Это и есть четвёртое уравнение.

Итак, имеем :

m₁a = m₁gsin  – T – kN

0 = m₁g cos  – N

m₂a = T – m₂g

Согласно второму уравнению системы:

N = m₁gcos.

Подставляя найденное N в первое уравнение этой системы и складывая первое и третье уравнения, получим:

(m₁+m₂)a = m₁g sin – m₂g – km₁g cos .

Откуда найдём величину ускорения a:

(4).

Так как мы получили ответ, предполагая, что тела движутся в положительных направлениях осей ОХ₁ и OY₂, то а > 0, откуда:

m₁ (sin – k cos ) > m₂ (5).

Подчеркнем, что полученное неравенство – условие того, что m₁ опускается. Рассмотрим теперь обратный случай, когда m₁ поднимается. Направления сил и координатных осей для этого случая изображены на рис. 2.

Рис. 2

Записывая уравнения второго закона Ньютона для тел m₁ и m₂, получим:

m₁a = m₁gsin  – T – kN

0 = m₁g cos  – N

m₂a = T – m₂g

Решая эту систему, найдём ускорение тел:

(6).

Опять, требуя а > 0, получим условие того, что m₁ поднимается:

m₁ (sin + k cos ) < m₂.

Итак:

если m₁ (sin – k cos ) > m₂ – тело m₁ опускается,

если m₁ (sin + k cos ) < m₂ – тело m₁ поднимается.

Ясно, что если нарушены оба эти условия, т.е.:

m₁ (sin – k cos ) < m₂ < m₁ (sin + k cos ) (7),

то m₁ не будет ни подниматься, ни опускаться, т.е. при выполнении условия (7) тела будут покоиться. Заметим еще, что неравенство (5) имеет смысл лишь в случае:

sin – k cos  > 0, т.е:

tg  > k (8).

Неравенство (8) – это условие того, что m₁ вообще может опускаться. Если (8) нарушается, то даже при m₂ = 0 тело m₁ опускаться не будет, оно будет покоиться.

Задача 3

На гладком (трения нет) клине с углом наклона , основание которого горизонтально, находится небольшое тело. С каким ускорением в горизонтальном направлении следует перемещать клин, чтобы тело покоилось относительно клина?