Задача 8

Оценить давление в центре Земли. Радиус Земли принять равным R=6400 км, а среднюю плотность Земли –  = 5,510³ кг/м3.

Решение

Выделим мысленно объём в виде слоя толщиной dr и площадью поперечного сечения  S. Пусть эта частица находится на расстоянии r от центра Земли. Частица притягивается к центру Земли, поэтому, для того чтобы она находилась в равновесии, необходимо силу притяжения уравновесить разностью давлений:

(1).

Рис. 1

Разобьём Землю на две части – шар, радиуса r, и сферический слой над ним (см. Рис. 1, на котором шар залит серым цветом, а слой закрашен точками).

Согласно результату предыдущей задачи, сила притяжения, действующая на частицу, равна силе, с которой частица притягивается к шару радиуса r, а та часть земного шара, которая находится на расстояниях пре­вышающих r, не оказывает на частицу никакого влияния. Тогда сила притяжения легко находится. Действительно, если масса шара радиуса r равна М(r), то сила притяжения частицы массой dm к этому шару равна:

(2).

Этот результат можно записать в более простом виде, если умножить и поделить его на куб радиуса Земли:

.

Здесь М – масса Земли, и кроме того, мы использовали то обстоятельство, что ускорение свободного падения на поверхности Земли можно записать как:

Уравнение (1) с учётом (2) приобретёт вид:

.

Поскольку dm=Sdr, и p(r+dr) – p(r) = dp, то, после сокращения на S, приходим к уравнению:

.

Интегрируя это уравнение по dr от 0 до R, и полагая давление на поверхности Земли равным нулю, получим:

Подставляя сюда числовые параметры, найдём давление в центре Земли:

р  1,810¹¹ Па = 1,810⁶ атм.

3. Импульс.

При решении задач на эту тему необходимо иметь в виду следующее:

1. Импульс точки:

p = mv,

где m – масса точки, v – ее скорость.

2. Импульс точки изменяется под действием сил, приложенных к этой точке:

где F_i – сумма сил, приложенных к точке. Это просто иная, причем наиболее общая, формулировка второго закона Ньютона.

3. Импульс аддитивен, импульс системы точек равен векторной сумме импульсов точек, составляющих систему:

где p_i – импульсы точек, составляющих систему, N – здесь и далее, число точек в системе.

4. Замкнутой системой тел называют такую систему тел, на которую не действуют внешние силы. Импульс замкнутой системы тел не изменяется со временем. Это утверждение называется законом сохранения импульса.

5. Из третьего закона Ньютона вытекает, что сумма сил, действующих между телами замкнутой системы, равна нулю. Эти силы обычно называют внутренними силами.

6. Из (3) – (5) вытекает следующее уравнение:

,

где P импульс системы точек, F_i^внеш – силы, действующие на тела системы, со стороны тел, не входящих в систему (такие силы называют внешними силами). Так, при взрыве летящего снаряда, силы, разрывающие снаряд, являются внутренними силами по отношению к снаряду, а сила тяжести является внешней силой.

7. Центром инерции (центром масс) системы точек называется точка, радиус–вектор которой R_ци определяется следующим образом:

где r_i – радиус–векторы точек с массами m_i соответственно.

8. Скорость центра масс V_ци определяется следующим образом:

где v_i – векторы скорости точек с массами m_i соответственно, Р – импульс системы точек, M – сумма масс точек, составляющих систему (масса системы). Это равенство можно записать иначе:

.

Т.е. импульс системы тел совпадает с импульсом материальной точки, с массой равной массе системы точек и движущейся со скоростью центра масс системы.

9. Дифференцируя последнее уравнение по времени и воспользовавшись уравнением (6), найдём ускорение a_ц центра инерции:

где М – масса системы, F_i^внеш – внешние силы, приложенные к точкам системы. Т. е. центр масс системы точек движется как материальная точка с массой, равной массе системы под действием силы, равной векторной сумме внешних сил, приложенных к точкам системы. Это утверждение называют теоремой о движении центра масс системы.