Задача 2

Небольшой шарик подвешен к концу невесомого стержня длины L, который может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через другой его конец. С какой скоростью следует толкнуть шарик, чтобы он совершил полный оборот в вертикальной плоскости? Как изменится ответ, если шарик подвешен на нити?

Решение.

Рис. 1

Задача решается с помощью закона сохранения энергии. Правда, прежде чем применить его, следует выяснить, действительно ли работает этот закон в данном случае. Для этого вспоминаем, что закон сохранения энергии, вообще говоря, нарушается, если на тело действуют неконсервативные силы. В данном случае на шарик действуют две силы: сила тяжести, она консервативна, и сила реакции стержня. Эта сила неконсервативна, т.к. зависит, помимо всего прочего, от скорости шарика. Однако наличие неконсервативной силы нарушает закон сохранения энергии лишь в случае, когда работа этой силы отлична от нуля, т.к.

.

В данном случае сила реакции N стержня в каждый момент времени направлена перпендикулярно скорости v шарика, поэтому ее мощность равна нулю:

P = (N,v).

Таким образом, эта сила работы не совершает и энергия сохраняется. Очевидно, что наиболее "опасной" точкой является верхняя точка траектории, т.е. точка 2 на рис. 1. Если шарик пройдет эту точку, то он совершит полный оборот, поэтому, если шарик подвешен на стержне, то скорость его в точке 2 не может быть меньше нуля.

Итак, согласно закону сохранения энергии получаем:

откуда:

Т.к. потенциальная энергия материальной точки в поле тяжести равна mgh, где h – высота, на которой находится эта точка, то

U­₂ – U­₁ = mg(h₂ – h₁) = 2 mg L,

т.к. разность высот шарика в точках 1 и 2 равняется 2L.

Таким образом, получаем, что:

.

Итак, если шарик подвешен на стержне, то для скорости, с которой его следует толкнуть, чтобы он совершил полный оборот, имеем:

.

Для шарика, подвешенного на нити, справедливы все приведенные выше рассуждения, кроме одного: скорость шарика в верхней точке траектории не может быть слишком малой, а тем более нулевой – нить всё время должна быть натянута. Найдем минимальное значение скорости шарика в точке 2. Для этого учтем, что в этой точке обе силы, действующие на шарик, и сила тяжести, и сила натяжения нити направлены в одну сторону вдоль нити, т.е. перпендикулярно скорости шарика. Поэтому ускорение шарика также направлено перпендикулярно скорости, т.е. оказывается нормальным ускорением:

.

В силу второго закона Ньютона можем написать в точке 2 уравнение:

ma_n = mg +N

Отсюда, с учетом выражения для ускорения в точке 2, получаем, что

Очевидно, для нити N > 0 (почему, подумайте сами), поэтому:

.

Опять, используя закон сохранения энергии, получаем:

Окончательно можем написать:

Задача 3

Тело массы m толкнули со скоростью  вверх по наклонной плоскости. На какую высоту h поднимется тело, если угол наклона плоскости равен , а коэффициент трения между телом и плоскостью – k?

Решение

Рис. 1

Эту задачу проще всего решить, рассматривая изменение энергии тела. В начальном положении (точка 1 на рис. 1) тело обладает энергией E₁=m²/2, в конечном (точка 2 на рис. 3) – энергией Е₂ = mgh, т.к. здесь тело останавливается, и его скорость равна нулю. Приращение механической энергии равно работе неконсервативных сил:

Рис. 2

К числу неконсервативных сил здесь относятся нормальная компонента силы реакции плоскости и сила трения. Но нормальная компонента силы реакции направлена перпендикулярно плоскости, т.е. перпендикулярно скорости тела, и потому работы не совершает. Что касается силы трения, то эта сила – сила трения скольжения, поэтому F_тр=kN, a так как N=mgcos, то:

A_тр = – F_трS = – kmgScos.

Так как Ssin = h (см. Рис. 2), то для работы силы трения получаем:

A_тр = = – kmghctg,

откуда:

.

Откуда находим h:

Если   0, то h  0, но S=h/sin  ²/2kg (сравните с ответом к задаче 1 предыдущего раздела).