Ми10 крив и пов

Министерство образования и науки Российской Федерации Южно-Уральский государственный университет Кафедра дифференциальных и стохастических уравнений

517.3 (07) П207

А.А. Патрушев, А.А. Эбель

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Учебное пособие

Челябинск Издательский центр ЮУрГУ 2013

УДК 517.3 (075.8) П207

Одобрено научно-методическим советом по математике и механике

Южно-Уральского государственного университета

Рецензенты:

профессор, доктор физ.-мат. наук М.М. Кипнис, профессор, доктор технических наук П.П. Переверзев

Патрушев, А.А. Криволинейные и поверхностные интегралы, элементы тории поля: учебное пособие для самостоятельной работы студентов / А.А. Патрушев, А.А. Эбель. – Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2013. – 116 с.

Учебное пособие предназначено для самостоятельного изучения раздела «Криволинейные и поверхностные интегралы, элементы тории поля» из курса математического анализа студентами технических специальностей. Изложение учебного материала иллюстрируется примерами. В пособие включены задачи для самостоятельного решения, снабжённые ответами.

Издательский центр ЮУрГУ, 2013

2

Введение

При изучении физики, механики и при решении разнообразных инженерных задач часто возникает необходимость наряду с интегралами от действительной функции одного переменного рассматривать интегралы от функций многих переменных по кривым и поверхностям. Такие интегралы играют важную роль при исследовании скалярных и векторных полей, задаваемых в пространстве действительными и векторными функциями векторного аргумента, составляющими предмет изучения теории поля и векторного анализа.

Настоящее пособие содержит краткое изложение основного материала по криволинейным и поверхностным интегралам, входящего в курс математического анализа для студентов технических специальностей. Особое внимание уделено векторным и скалярным полям. В пособии рассмотрено множество примеров и предложены задачи для самостоятельного решения по каждому разделу изучаемого материала. Все задачи снабжены ответами; приведен список литературы.

Пособие может быть использовано как сборник задач, а также в качестве руководства к самостоятельному изучению раздела математического анализа: «Криволинейные и поверхностные интегралы, элементы теории поля.

3

точки M (x0 , y0 ) , если функция F(x, y) имеет непрерывные частные производные в окрестности точки M (x0 , y0 ) и Fx' (x0 , y0 )2 +Fy' (x0 , y0 )2 ≠ 0.

функция f (x) имеет непрерывную производную на этом интервале.

Очевидно, кривую, заданную явно, можно записать в параметрическом виде

То же самое можно утверждать и о неявно заданной кривой в окрестности обыкновенной точки. Поэтому, в основном, мы будем рассматривать гладкие кривые, заданные параметрически.

Непрерывная кривая, составленная из конечного числа гладких кривых,

называется кусочно-гладкой. Простейшим примером кусочно-гладкой кривой может служить ломаная линия с конечным числом звеньев.

На каждой гладкой кривой можно выбрать определенное положительное направление, а именно то, которое соответствует возрастанию параметра t .

Непрерывная кривая, не пересекающая себя и не касающаяся себя, называется простой кривой.

Формулы отсутствия самопересечений и самокасаний записываются так:

4

ϕ(t1 ) −ϕ(t2 ) +ψ(t1 ) −ψ(t2 ) ≠ 0 при t1 −t2 ≠ 0.

Наиболее часто встречающиеся в задачах кривые на плоскости.

Кривые второго порядка 1.Эллипс

1. Сумма расстояний от каждой точки эллипса до его фокусов есть величина постоянная, равная 2а.

2. Каноническое уравнение эллипса (а > b): x2 + y2 =1. a2 b2

2. Гипербола

1. Модуль разности расстояний от каждой точки гиперболы до ее фокусов есть величина постоянная, равная 2а.

2. Каноническое уравнение гиперболы: x2 − y2 =1. a2 b2

3. Парабола

1.Произвольная точка М (х; у) параболы равноудалена от фокуса и директрисы параболы: ρ(М; F) = ρ(М; l)

2.Каноническое уравнение параболы: y2 = 2 px.

3.Фокус параболы: F( 2p ;0)

4.Директриса параболы – прямая l с уравнением: x = − 2p .

5

Пример 1.1. Построить линию, заданную параметрически:

точке М0(1; −1), с осями, параллельными осям координат, с действительной осью, параллельной оси 0х. Гипербола изображена на рис. 1.1:

Рис. 1.1.

В некоторых случаях исключение параметра не приводит к упрощению «узнавания» и построения кривых. Тогда для построения кривой придают различные значения параметру t и для каждого значения находят соответствующие значения х и у. Затем, в декартовой системе координат по точкам (х; у) строят кривую, отображающую зависимость у(х).

Пример 1.2. Построить кривую, заданную параметрически:

x =1 +t2

y = t3 − 4t.

Решение. Исключение параметра t из заданных параметрических уравнений кривой не приводит к уравнению знакомой кривой. Поэтому, для начала, находим точки пересечения данной кривой с координатными осями:

1) x = 0 невозможно, следовательно, пересечений с осью 0у нет;

8

t1 = 0 (x =1);

2)y = 0 : t2 = 2 (x = 5);

t3 = −2 (x = 5).

Рис. 1.2.

Очевидно, что в точке (х = 5, у = 0) кривая пересекает сама себя, так как она проходит через эту точку при двух различных значениях параметра t (t2 = 2 и t2 = −2 ). Далее, придавая параметру t некоторые значения,

находим соответствующие значения х и у и по точкам (х; у) схематично строим кривую (с петлей) в декартовых координатах (рис. 1.2).

Кривые, заданные в полярных координатах r = r(ϕ)

Замечание. При рассмотрении кривых полюс полярной системы координат помещен в точку (0;0) декартовой системы координат, полярная ось совмещена с положительной полуосью абсцисс.

9

Кардиоиды

Cпирали

спираль Архимеда: r = а·ϕ;

гиперболическая спираль:

r = а/ϕ;

логарифмическая

спираль: r = аϕ.

Стрелками на рисунках указано направление, соответствующее возрастанию ϕ.

10