Ми10 крив и пов

условимся брать направление движения по кривой L так, чтобы область, ограниченная этой кривой, оставалась слева (рис. 1.3.4). Такое направление интегрирования называют положительным. Перемещение в противоположном направлении называют отрицательным.

Замечание 3. Если Y(x, y) ≡ 0, то интеграл принимает вид

∫ X (x, y)dx и называется криволинейным интегралом по координате x .

AB

Если X (x, y) ≡ 0, то ∫Y(x, y)dy называют криволинейным интегралом

AB

по координате y.

Рис.1.3.4

Поскольку определяемый нами интеграл (1.16) можно записать в виде суммы двух криволинейных интегралов по координатам x и y

∫ X (x, y)dx +Y(x, y)dy = ∫ X (x, y)dx + ∫Y(x, y)dy, то его называют еще

AB

Если кривая L – замкнутая, то криволинейный интеграл

JG G G

v∫F dr называют циркуляцией векторного поля F по замкнутому

L

31

Таким образом, если вектор F(x, y) задает силовое поле, то криволинейный интеграл второго рода выражает работу этого поля вдоль линии AB .

1.2.3. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода

Пусть на кривой L установлено направление движения. Взяв точку M на этой кривой, проведем касательную к линии L в точке M и установим на касательной направление, соответствующее направлению движения по кривой.

Рис.1.3.5

Отложим по касательной в установленном направлении дифференциал

дуги ds , получим вектор dτ (рис. 1.3.5), проекциями которого служат дифференциалы dx, dy, dz . Обозначим через α(M ), β(M ),γ(M ) углы,

оразованные касательным вектором dτ с осями координат Ox,Oy,Oz . НапомнимGформулы, по которым определяются проекции вектора на оси: dx =| dτ | cosα(M ) = cosα(M ) ds, dy = cos β(M ) ds, dz = cosγ(M ) ds.

Поэтому составной криволинейный интеграл второго рода может

быть заменен интегралом первого рода по формуле

∫Xdx +Ydy + Zdz =∫(X cosα(M ) +Y cos β(M ) + Z cosγ(M ))ds.

L L

32

1.2.4. Существование и вычисление криволинейного интеграла второго рода

Теорема 1.2. Пусть кривая AB задана параметрическими уравнениями

Доказательство. Остановимся на втором утверждении теоремы. Покажем, что вычисление криволинейного интеграла второго рода сводится к вычислению определенного интеграла по формуле (1.19). Выберем произвольное разбиение кривой AB точками A0 = A, A1 ,..., An = B на

элементарные дуги Ai−1 Ai длиной ∆si . Пусть ti ,i = 0,..., n, – значения параметра кривой, соответствующие точкам Ai . Для этих значений верны

Сумма, стоящая в правой части последнего равенства, является интегральной суммой для непрерывной функции одной переменной

33

Доказательство первого утверждения теоремы смотрите, например [3]. Согласно доказанной теореме, для вычисления криволинейного

интеграла второго рода в подынтегральном выражении необходимо от переменных x и y перейти к параметру t кривой, для чего через t следует

выразить подынтегральные функции X (x, y), Y(x, y) и дифференциалы dx, dy . В доказательстве теоремы предполагалось, что начальной точке A кривой AB соответствует левый конец отрезка [α, β], являющегося областью изменения параметра кривой. Если же параметризация кривой не согласована с направлением ее обхода, то в формуле (1.19) определенный интеграл справа соответствует противоположному направлению обхода, т.е. левая и правая части формулы отличаются знаками. Для восстановления равенства можно в определенном интеграле поменять местами пределы интегрирования. Таким образом, действует следующее правило: при переходе от криволинейного интеграла второго рода к определенному интегралу нижний предел интегрирования должен соответствовать начальной точке кривой, а верхний предел интегрирования – конечной точке.

Рассмотрим частные случаи задания плоской кривой AB .

Если кривая AB задана уравнением, y = y(x), x [a,b], то в качестве

параметра кривой можно взять абсциссу x точки на кривой. В этом случае в соответствии с формулой (1.19) получаем

34

Здесь c и d — ординаты точек A и B кривой.

Теорема 1.2 без каких-либо затруднений переносится на случай пространственной кривой. Пусть пространственная кривая AB задана параметрическими уравнениями

x = x(t);

y = y(t); t [α, β],

z = z(t),

где x(t), y(t), z(t) – функции, непрерывные на отрезке [α, β] вместе со

своими производными, причем начальной точке A кривой соответствует значение параметра t =α, конечной точке B кривой — значение параметра t = β . Тогда криволинейный интеграл второго рода общего вида

I = ∫ (x + y)dx + 2zdy + xydz вдоль пространственной кривой AB , заданной

Решение. Так как dx = dt, dy = 2tdt, dz = −dt, то, используя формулу (1.23) , находим

35

Α = ∫ X (x, y)dx +Y(x, y)dy = ∫ (4x − y)dx +5x2 ydy =

AB AB

1.2.5. Свойства криволинейного интеграла второго рода

Рассмотрим основные свойства криволинейного интеграла второго рода общего вида.

Свойства линейности:

1) ∫ k X (x, y)dx + k Y(x, y)dy = k ∫ X (x, y)dx +Y(x, y)dy;

3) Свойство аддитивности: если на кривой ABвзята произвольная точка C , то

∫ X (x, y)dx +Y(x, y)dy = ∫ X (x, y)dx +Y(x, y)dy + ∫ X (x, y)dx +Y(x, y)dy.

Свойства 1) – 4) несложно доказать, используя определение криволинейного интеграла второго рода как предела интегральных сумм и известные свойства предела. Эти доказательства повторяют доказательства соответствующих свойств определенного интеграла.

5) Если кривая AB представляет собой отрезок прямой, параллельной оси Oy , то

∫ X (x, y)dx = 0.

AB

Если же AB – это отрезок прямой, параллельной оси Ox , то

∫Y(x, y)dy = 0.

AB

Это свойство объясняется тем, что для таких интегралов соответствующие интегральные суммы равны нулю независимо от выбора разбиения кривой и выбора точек на элементарных дугах разбиения.

36

В частности, когда AB – отрезок вертикальной прямой x = x0 , y [c, d], то вдоль него x' ( y) ≡ 0 и

∫ X (x, y)dx +Y(x, y)dy = ∫d (X (x( y), y)x' ( y) +Y(x( y), y))dy = ∫d Y(x0 , y))dy.

>∫(x − y)dx +5xdy = ∫ (x − y)dx +5xdy + ∫ (x − y)dx +5xdy + ∫ (x − y)dx +5xdy.

L OA AB BO

1) Вычислим интеграл ∫(x − y)dx +5xdy .

OA

Так как OA: y = 0, x [0,1] , то dy ≡ 0 на отрезке OA. Следовательно

37

1.2.6. Формула Грина

Напомним некоторые понятия.

Множество G называется областью, если это множество удовлетворяет двум условиям:

1)каждая точка множества является внутренней точкой множества, то есть множество является открытым множеством;

2)любые две точки множества можно соединить ломаной, каждая точка которой принадлежит данному множеству, то есть множество связно.

Область G называется односвязной областью, если любую замкнутую кривую, лежащую внутри данной области, можно непрерывно стянуть в точку, не выходя за границы данной области, и многосвязной, в противном случае.

Вдальнейшем, через D будем обозначать замкнутую область G. Рассмотрим случай криволинейного интеграла второго рода вдоль

простого замкнутого контура L в плоскости xOy . В этом случае контур L является границей некоторой плоской замкнутой области D .

38

Теорема 1.3. (Формула Грина) Пусть односвязная область D на плоскости xOy ограничена простым кусочно гладким контуром L , а

функции X (x, y) и Y(x, y) непрерывны в D вместе со своими частными производными. Тогда справедлива формула, называемая формулой Грина:

где контур L обходится в положительном направлении, т.е. при движении по контуру область D остается слева.

Формула Грина позволяет заменять анализ одного явления, происходящего в области (двойной интеграл), анализом другого явления, происходящего только на границе области (криволинейный интеграл).

Доказательство. Формула Грина фактически распадается на две независимые формулы:

1)>L∫X (x, y)dx = −∫∫D ∂∂Xy dxdy;

2)>L∫Y(x, y)dx = ∫∫D ∂∂Yx dxdy.

Доказав эти две формулы, мы получим общую формулу (1.24) их суммированием. Доказательство двух формул строится по одной схеме. Поэтому можно ограничиться доказательством одной из них, например первой. Для простоты предположим, что замкнутая область D является правильной областью интегрирования относительно координатной оси

Oy .

39

Используя правило вычисления криволинейного интеграла второго рода, заключаем, что

Сравнивая выражения для двойного и криволинейного интегралов, видим, что различие только в знаке. Что и доказывает равенство (1.25).

Предположим, что замкнутая область D не является правильной относительно оси Oy , но может быть разделена кусочно гладкими

кривыми на конечное число замкнутых областей, правильных относительно оси Oy . Записывая формулу (1.25) для каждой частичной

области и суммируя полученные равенства, мы приходим к формуле (1.25) для всей области D.

Формулу Грина можно распространить на случай многосвязной замкнутой области D, ограниченной внешним контуром L0 и внутренними

контурами L1 , L2 ,..., Ln . Здесь положительным направлением обхода внешнего L0 контура следует считать движение против часовой стрелки, а

положительным направлением обхода внутренних контуров – движение по часовой стрелке, поскольку при таком движении область D, ограниченная этими контурами, остается все время слева (рис. 1.3.8).

40