Ми10 крив и пов

существует функция u(x, y, z) , которая является потенциалом векторного

JJJJJJG

JJJJJJG

JJJJJG

поля F (M ) , для которой F (M )

= gradu(M ).Следовательно, имеем:

1

JJJJG

1

JJG

JG

JJJJJG

rotgradu(M ) = 0, F (M )

= F(M ) − gradu(M ).

2

JG

Так как должно

выполняться равенство divF2 (M ) = 0 , то

функция

u(MJJG) должна JG

JJJJJG

удовлетворять

JJJJJG

условию

divF2 (M ) = divF(M ) − divgradu(M ) = 0,

или,

так как divgradu(M ) = ∆u

(формула 2.41),

2

u +

2

u

2

JG

∆u =

∂

∂

+ ∂

u = divF(M ).

∂x2

∂y2

∂z2

Q

2.1.

f (x, y, z) = z ; Q – часть поверхности цилиндра

x2 + z2 = a2 , z ≥ 0 ,вырезанная конусом z =

x2 + y2 .

2.2.

f (x, y, z) = z + y + z ; Q – верхняя половина сферы x2 + y2 + z2 = a2 .

2.3.

f (x, y, z) =

x2

+

y2

+

z2

: Q – эллипсоид

x2

+

y2

+

z

2

=1, z ≥ 0 .

a4

b4

c4

a2

b2

c2

2.4.

f (x, y, z) = x2 y2 + z2 x2 + z2 y2 ; Q – часть верхней половины конуса

x2 + y2 = z2 , z ≥ 0 , отсекаемая цилиндром x2 + y2 − 2ax = 0 .

Найти массу поверхности Q , плотность которой задается

функцией ρ(x, y, z) .

конической поверхности x2 + y2 = z2 (0 ≤ z ≤ a) .

G

Вычислить поток векторного поля F(M ) через ориентированную

поверхность Q :

G

JG

в

2.9. F(M )

= (x2 + y2 ) k ; Q – нижняя сторона круга x2 + y2 = R2

плоскости

xOy .

G

JG

2.10. F(M ) = x2 y2 z k ; Q – верхняя сторона нижней полусферы

x2 + y2

+ z2 = R2 , z ≤ 0 .

JG

G

2.11. F(M ) = x3 i ; Q – верхняя сторона половины эллипсоида

x2

+

y2

+

z2

=1, z ≥ 0 .

a2

b2

c2

Вычислить двумя способами (с помощью и без помощи формулы

G

Остроградского) поток векторного поля F(M ) через ориентированную

поверхность Q :

G

G

G

JG

+ y

2.12. F(M ) = x2 i

2 j

+ z2 k ; Q – внешняя сторона сферы

x2 + y2 + z2 = R2 .

JG

G

x

2

y

2

z

2

2.13. F(M ) = z k ; Q – внешняя сторона эллипсоида

+

+

=1.

a2

b2

c2

JG

G

G

G

2.14. F(M ) = x3 i

+ z2 j

+ ( y2 + x) k ; Q – внешняя сторона эллипсоида

x2

+

y2

+

z2

=1.

a2

b2

c2

JG

На основе формулы Стокса найти циркуляцию векторного поля F(M ) по

кривой L:

G

G

G

JG

2.15. F(M ) = y i + z

j + x k ; L – линия пересечения сферы

положительного направления оси Ox ).

G

JG

G

G

2.16. F(M ) = ( y − z) i

+ (z − x) j +

(x − y) k ; L – линия пересечения

цилиндра x2 + y2

= a2

и плоскости

x

+

z

=1, (a > 0, b > 0) (против часовой

a

b

стрелки, если смотреть с положительного направления оси Ox ).

JG

+ z2 )

G

G

G

2.17. F(M ) = ( y2

i + (x2 + z2 )

j

+ ( y2 + x2 ) k ; L – линия пересечения

цилиндра x2 + y2 = 2ax и сферы x2 + y2 + z2

= 2Rx, R > a > 0, z ≥ 0 (в

направлении, при котором меньшая область, ограниченная кривой на

сфере, остается слева).

G

Пусть дано векторное поле

F(M ) :

а) проверить, является ли векторное поле соленоидальным или

потенциальным;

б) если поле потенциально, найти его потенциал.

2.18.

JG

G

+ (xz + x)

G

JG

F(M ) = ( yz + y −1) i

j + (xy + 2) k.

JG

JG

G

G

2.19. F(M ) = (−4x + y)

i + (2 y

+ x + z)

j

+ (2z + y) k.

2.20.

JG

G

G

JG

F(M ) = (2xy −6x) i + (x2

− 2 yz) j

− y2 k.

JG

G

+ 2xy

G

+ (x +1)

JG

2.21. F(M ) = ( y2 −3x2

+ z) i

j

k.

Глава 1.

Ответы

256a3

1

1.1. a) 1+

2; б)

; в) 2a3; г)

(2 + 4π

2 )3

−

8 ; д) 1.

15

3

1.2. а)

2

3ρ

; б) 5ρ. 1.3. 2 −

9

arcsin

5

.

1.4.

3

3

;

9

. 1.5.

3

5

3

2π

2π

2

2

ρ

= 5ρ

1+ 4π

2

1+ 4π

2

1+ 4π2 .

3a

ρ ; 3a

. 1.6. JOx

; JOy = 5ρ

; JOz = ρ

5

5

6

6

1.7. а) 3; б) 0; в)

1

. 1.8. π. 1.9. а) 12; б) −12π. 1.10.

а)

πa4

; б) − 2πab.

35

4

1.11. а) u(x, y) =

x3 − y3

+ x2 y − xy2 +C; б) u(x, y) = cos(x2 − y2 )+sin xy +C.

x2

3

y2

x2

y3

1.12. а) u(x, y) =

+ xy −

+C; б) u(x, y) =

+

+C.

2

2

2

3

Глава 2.

2.1.

πa3

. 2.2 πa

3

. 2.3.

2πabc

1

1

1

2.4.

29

2πa6

2.5.

4π 3

+

+

.

.

.

2

3

2

b

2

c

2

8

5

(4 2 −5)

a

πa4

2 a3.

π

R

4

π

R

7

2.6.

. 2.7.

πR3. 2.8.

2.9. −

.

2.10. −

2

.

2.11.

3

2

2

105

2πa3bc.

3

4πa3bc.

2.12. 0. 2.13.

4

πabc.

2.14.

2.15. −3πR2

. 2.16.

5

3

5

2

Оглавление

Введение...............................................................................................................

2

1. Криволинейные интегралы ............................................................................

4

1.1.2 Геометрический смысл криволинейного интеграла первого рода .....

19

1.1.3 Механические приложения криволинейного интеграла первого рода.

Задача о массе материальной кривой..............................................................

20

1.1.4. Вычисление криволинейного интеграла первого рода.......................

22

1.2 Криволинейный интеграл второго рода

1.2.1. Скалярные и векторные поля.................................................................

26

1.2.2. Задача о работе силового поля. Понятие криволинейного интеграла

второго рода.......................................................................................................

28

то интеграл принимает вид ..............................................................................

31

1.2.3. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода

.............................................................................................................................

32

1.2.4. Существование и вычисление криволинейного интеграла второго

рода.....................................................................................................................

33

1.2.5. Свойства криволинейного интеграла второго рода.............................

36

1.2.6. Формула Грина........................................................................................

38

1.2.7. Условия независимости криволинейного интеграла от пути

интегрирования..................................................................................................

42

1.2.8. Нахождение функции по ее полному дифференциалу........................

47

2.2. Поверхностный интеграл первого рода. Теорема существования

интеграла............................................................................................................

69

2.2.1. Вычисление поверхностного интеграла I-го рода...............................

71

2.2.2. Механические приложения поверхностного интеграла первого рода

.............................................................................................................................

74

2.3. Поверхностный интеграл второго рода

2.3.1. Векторные поверхности .........................................................................

76

2.3.3. Свойства поверхностного интеграла второго рода............................

81

2.3.4. Вычисление поверхностного интеграла второго рода.......................

82

2.3.5. Формула Остроградского – Гаусса. Дивергенция векторного поля..

86

2.3.6. Дивергенция векторного поля ...............................................................

91

2.3.7. Формула Стокса.......................................................................................

93

2.3.8. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от

пути интегрирования в пространстве............................................................

100

2.3.9. Ротор векторного поля..........................................................................

102

2.3.10. Оператор Гамильтона. Простейшие векторные поля......................

105

Библиографический список............................................................................

115